证明：bn=(a1+2a2+3a3+…+nan)/(1+2+3+…+n),
n(n+1)bn=2(a1+2a2+3a3+…+nan)
(n+1)(n+2)b=2[a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)a]
=n(n+1)bn+2(n+1)a
(n+2)b=nbn+2a
设{bn}公差d
n(b-bn)+2b=2a
nd+2b=2a……(*)
(n-1)d+2bn=2an……(**)
(*)-(**)
d+2d=2(a-an)
a-an=(3/2)d为常数
检验,b1=a1,b2=(a1+2a2)/3
b2-b1=(2/3)(a2-a1)
a2-a1=(3/2)(b2-b1)=(3/2)d成立
所以{an}也是等差数列
bn = a1+2a2+……nan/[1+2+…+n]
= 2[a1+2a2+……nan]/[n*(n+1)]
bn-1 = 2[a1+2a2+……(n-1)an-1]/[(n-1)*n]
[(n-1)*n*bn-1]/2 = a1+2a2+……(n-1)an-1
所以bn = 2[a1+2a2+……nan]/[n*(n+1)]
= 2[[(n-1)*n*bn-1]/2 + nan]/[n*(n+1)]
所以(n-1)*n*bn-1 + 2nan = n*(n+1)bn
即(n-1)bn-1 + 2an = (n+1)bn 。
。。(1)
(n-2)bn-2 + 2an-1 = nbn-1 。。。
(2)
因为bn是等差数列，设公差为d
所以(n-1)bn-1 - (n-2)bn-2 = (n-2)bn-1 - (n-2)bn-2 + bn-1
= (n-2)d + bn-1
(n+1)bn - nbn-1 = nbn - nbn-1 + bn
= nd + bn
所以(1) - (2)得
(n-2)d + bn-1 + 2(an-an-1) = nd+bn
所以an-an-1 = [nd+bn - (n-2)d - bn-1]/2
= [nd+d-(n-2)d]/2
= 3d/2
所以an也是等差数列
。
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