1^3+2^3+3^3+
1^3+2^3+3^3+...+n^3=1/4*n^2*(n+1)^2这是高中数学要求用数学归纳法证明.(其中1^3表示1的三次方...) 我想知道从左边的式子如何推出右边的式子的? 即在用数学归纳法证明之前人们是如何发现这个等式的?注意从左边的式子推导出右边的式子,不要用数学归纳法证明.
利用(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1,分别令n=1、2、3、...、n代入前式,得n条等式,将真相加,并以平方和公式n(n+1)(2n+1)/6、和的公式n(n+1)/2代入得立方和公式Sn=[n(n+1)/2]^2。
首先我们知道一个更基本的恒等式： 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 由恒等式 (k+1)^4 = k^4 + 4k³ + 6k² + 4k + 1 (k-1)^4 = k^4 - 4k³ + 6k² - 4k + 1 相减，得 (k+1)^4 - (k-1)^4 = 8k³ + 8k 令 k = 1, 2, 3, 4, 。
。。, n-1, n 可分别得 2^4 - 0^4 = 8*1³ + 8*1 3^4 - 1^4 = 8*2³ + 8*2 4^4 - 2^4 = 8*3² + 8*3 5^4 - 3^4 = 8*4³ + 8*4 …………………………… n^4 - (n-2)^4 = 8(n-1)³ + 8(n-1) (n+1)^4 - (n-1)^4 = 8n³ + 8n 此n个式子相加可得 (n+1)^4 + n^4 - 0^4 - 1^4 = 8(1³+2³+3³+。
。。+n³) + 8(1+2+3+。。。+n) 即 2n^4 + 4n³ + 6n² + 4n = 8(1³+2³+3³+。。。+n³) + 4n(n+1) 即 2n^4 + 4n³ + 2n² = 8(1³+2³+3³+。
。。+n³) 即 n^4 + 2n³ + n² = 4(1³+2³+3³+。。。+n³) 即 n²(n+1)² = 4(1³+2³+3³+。
。。+n³) 故 1³+2³+3³+。。。+n³ = n²(n+1)²/4 。
答：公式：1^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2 是如何推导出来的？ 答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2. （...详情>>
问：小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时，他行1小时可行多少千米？（为...
答：1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问：甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答：（38+41）x2.5=197.5千米详情>>
