解析几何
设直线l：x=7根号3/6,定点A(根号3,0),动点P到直线l的距离为d,且|PA|/d=根号3/2 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若过原点且倾斜角为A(A不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的面积S(A) (3)求S(A)的最大值
解：由|PA|/d=√3/2知,P点的轨迹是以点A(√3,0)为右焦点,直线l：x=7√3/6为右准线,离心率为√3/2的椭圆。 设C：(x-m)²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),半焦距为c,则 a²/c-c=7√3/6-√3 m+c=√3 c/a=√3/2 a²-b²=c² 解得a=1,b=1/2,m=√3/2。
故动点P的轨迹C：(x-√3/2)²+y²/(1/4)=1。 (2)如图所示, 因为S△AMN=S△AOM+S△AON=|OA|·|OM|sinA/2+|OA|·|ON|sin(π-A)/2 =|MN|·|OA|sinA/2,|OA|=√3。
当A=90°时,点M,N均在y轴上,在椭圆C的方程中,令x=0, 得y=±x/4,则|MN|=1/2,所以S(A)=|MN|·|OA|/2=√3/4。 当A≠90°时,设k=tanA,则直线MN：y=kx代入椭圆C的方程,得 4(4k²+1)x²-4√3·x-1=0 由弦长公式, 得|MN|=√(1+k²)|x1-x2| ``````=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2] ``````=√(1+k²)·√[3/(4k²+1)²+1/(4k²+1)] ``````=2(k²+1)/(4k²+1) ``````=2(tan²A+1)/(4tan²A+1) ``````=2/(3sin²A+1) 所以S(A)=|MN|·|OA|sinA/2=√3·sinA/(3sin²A+1) 显然大拇哥A=90°时,也适合上式。
(3)因为0°0,所以3sin²A+1≥2√3·sinA S(A)=√3·sinA/(3sin²A+1)≤√3·sinA/(2√3·sinA)=1/2。 当且仅当。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。时S(A)的最大值为1/2。
设直线l：x=7(√3)/6, 定点A(√3,0),动点P到直线l的距离为d, 且|PA|/d = (√3)/2 。 (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过原点 且倾斜角为a(a不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的 面积S(a)；(3)求S(a)的最大值。
(1) 设 P(x,y)， 则 d = |x - 7(√3)/6| , |PA| = √[(x-√3)²+y²] 由条件得 √[(x-√3)²+y²] / |x - 7(√3)/6|= (√3)/2 即 2 * √[(x-√3)²+y²] = (√3) * |x - 7(√3)/6| 两边平方，得 4x² - 8(√3)x + 12 + 4y² = 3x² - 7(√3)x + 49/4 整理得 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0 即 4[x - (√3)/2]² + 16y² = 2 即 C： [x - (√3)/2]²/(1/2) + y²/(1/8) = 1 (2) 先设直线MN的斜率为k，记 1/k = n 则直线MN的方程为 y = kx， 即 x = ny 代入 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0 得 (4n²+16)y² - 4(√3)ny - 1 = 0 y1 + y2 = (√3)n/(n²+4) ， y1 * y2 = -/(4n²+16) |y1 - y2| = √[(y1 + y2)² - 4 * y1 * y2] = √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)] S(A) = (1/2) * |OA| * (|y1| + |y2|) = (1/2) * |OA| * |y1 - y2| = [(√3)/2] * √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)] = (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 4)²] = (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 1 + 3)²] = (√3) / √[(n² + 1) + 9/(n² + 1) + 6] = (√3) / √[(tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) + 6] (3) 由基本不等式 (tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) ≥ 6 所以 S(a) ≤ (√3) / √(6+6) = 1/2 即 S(a) 的最大值为 1/2 。
有没有图啊，老兄，看都看不懂
答：⑵设动点Ｑ(√3cosθ,√2sinθ),动点Ｑ到ｌ距离d, d3cosθ+2√2sinθ-3|/√5=|√(3+8)sin(θ+φ)-3|/√5=|√11si...详情>>
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