(本题满分15分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点,且满足==λ∈(0,1).(Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC;(Ⅱ) 求λ的值,使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为.
试题难度:难度:偏易 试题类型:解答题 试题内容:(本题满分15分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点,且满足==λ∈(0,1).
(Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求λ的值,使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为.
试题答案:方法一:
(Ⅰ) 证明:如图以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,其中K为BC的中点,
不妨设PA=2,则,,
,,,.
由,得
,,
,
设平面的法向量=(x,y,z),则
,,
得
可取=(,1,2),于是
,故,又因为FG平面PDC,即//平面.
(Ⅱ) 解:,,
设平面的法向量,则,,
可取,又为平面的法向量.
由,因为tan=,cos=,
所以,解得或(舍去),
故.
方法二:
(Ⅰ) 证明:延长交于,连,.得平行四边形,则// ,
所以.
又,则,
所以//.
因为平面,平面,
所以//平面. …………6分
(Ⅱ)解:作FM于,作于,连.
则,为二面角的平面角.
,不妨设,则,,
由 得 ,即 .。
问:二面角平面ABC垂直于平面ABD,∠ACB=90度,AC=CB,三角形是正三角形,则二面角C-BD-A的平面角的正切值为_____.
答:解:用面积投影法。 ∵ABC是等腰直角三角形,AC=BC。ABD是正三角形 取AB中点E。连EC,ED易知CE⊥AB,AB⊥ED 且平面ABC垂直于平面ABD,...详情>>
答:详情>>