设X、Y属于R,求证:X Y的绝对值=X的绝对值 Y的绝对值-----充要条件是X*Y大于或等于0(要具体的证明过程)
证明:
(一)充分性:
若|X Y|=|X| |Y|
则|X Y|^2=(|X| |Y|)^2
即:X^2 Y^2 2XY=|X|^2 |Y|^2 2|X||Y|
∴XY=|X||Y|
∴XY≥0
∴|X Y|=|X| |Y|的充分条件是XY≥0
(二)必要性:
若xy≥0
则分为以下几种情况:
(1)当x、y>0时
│x y│=x y=|x│ │y│
(2)当x、y<0时
│x│=-x │y│=-y
│x y│=-(x y)=-x (-y)=│x│ │y│
(3)当X与Y中有一个为0时,显然有
│x y│=x y=|x│ │y│
∴|X Y|=|X| |Y|是XY≥0的必要条件
综上:|X Y|=|X| |Y|的充要条件是XY≥0
注意:证明充要条件的这类题,一定要分别证明其充分性和必要性。
一楼的做法是不对的。
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