g'(x)=lim[g(x+Δx)-g(x)]/Δx 设u=3√(x+Δx),v=3√(x) u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2) u-v=(u^3-v^3)/(u^2+uv+v^2) g'(x)=lim[u-v]/Δx =lim[(u^3-v^3)/[(u^2+uv+v^2)Δx]] =lim[(x+Δx-x)/Δx[3√(x+Δx)^2+3√x(x+Δx)+3√x^2] =lim[Δx/3Δx3√x^2] =1/[3(3√(x)^2)] 3√x=x^(1/3)
g(x)＝x^(1/3)。 对任意的x＞0，△y＝g(x＋△x)－g(x)＝(x＋△x)^(1/3)－x^(1/3)＝△x / [(x＋△x)^(2/3)＋x^(2/3)＋((x＋△x)×x)^(1/3)] （利用立方差公式） 所以，△y/△x＝1 / [(x＋△x)^(2/3)＋x^(2/3)＋((x＋△x)×x)^(1/3)] → 1/3×x^(－2/3) （△x→0） 所以，g'(x)＝1/3×x^(－2/3)
g'(x)=lim[g(x+Δx)-g(x)]/Δx =lim[3√(x+Δx)-3√(x)]/Δx =3lim[√(x+Δx)-√(x)]/Δx =3lim[(x+Δx)-x]/[Δx(√(x+Δx)+√(x))] =3lim1/[√(x+Δx)+√(x)]=3[1/(2√x)]=3/(2√x)
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