高中数学题两道
(1)已知x>y>0,且xy=1,求(x^2+y^2)/(x-y)的最小值及相应的x、y值; (2)已知正实数x、y满足2x+y=3,求1/(2x+1)+1/(y+2)的最小值.
解:
(1)因为x>y>0,x-y>0,
故依xy=1,可得
(x^2+y^2)/(x-y)
=(x-y)+[2/(x-y)]
>=2根2.
上式取等号时,得所求最小值为2根2,
此时有
{x>y>0,xy=1,x-y=2/(x-y)}
--->x=(根6+根2)/2,y=(根6-根2)/2.
(2)依Cauchy不等式得
[(2x+1)+(y+2)][1/(2x+1)+1/(y+2)]>=(1+1)^2
--->1/(2x+1)+1/(y+2)>=4/(2x+y+3)=4/6=2/3
上式取等号,知所求最小值为2/3.
此时,易得x=y=1.
(2) 通分，分子是6，分母2xy+4x+y+2。4x+y≧2√4xy =4√xy(当且仅当4x=y时，又因为2x+y=3,所以x=0.5 y=2)，所以2xy+4x+y+2≧2xy+4√xy+2=2(xy+2√xy+1)=2(√xy+1)^2=8,所以最小值为 6／8=3／4
(1)已知x>y>0,且xy=1,求(x^2+y^2)/(x-y)的最小值及相应的x、y值; 解：x^2+y^2=(x-y)^2+2, ∵x>y>0,∴t=x-y>0, ∴(x^2+y^2)/(x-y)=（t^2+2)/t>=2√2，当t=√2时取等号， 这时x-y=√2，xy=1,解得 x=(√6+√2）/2，y=（√6-√2）/2. (2)已知正实数x、y满足2x+y=3,求1/(2x+1)+1/(y+2)的最小值. 解：由2x+y=3得（2x+1)+(y+2)=6, ∴1/(2x+1)+1/(y+2) =1/6*[（2x+1)+(y+2)]*[1/(2x+1)+1/(y+2)] >=4/6(柯西不等式）, 当x=y=1时取等号， ∴1/(2x+1)+1/(y+2)的最小值是2/3.
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