已知高和一条边长怎样求三角形的面积求解
海伦定理海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s: s=frac{a b c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。 [编辑]证明
与海伦在他的着作Metrica中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2 b^2-c^2}{2ab}
从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为 S = frac{1}{2}ab sin(C)
= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
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