一、一阶线性微分方程的定义
　
定义：形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中p,q均为X 的连续函数。
注：
1。之所以称为线性，是指未知函数y及其导数y′都是一次的。
2。当q(x)=0时，有y′+py=0称为一阶线性齐次方程。
  
3。当q(x)≠0时，有y′+py=q称为一阶线性非齐次方程
　
二、一阶线性齐次微分方程的通解
　
对于一阶线性齐次微分方程y′+py=0，属于可分离变量的微分方程，其通解很容易解决，其解法如下：
将 分离变量得       
两边积分得 
所以其通解为 
（其中C为任意实数）
　
三、一阶线性非齐次微分方程的通解：
　
不难看出，一阶线性齐次方程y′+py= 0是非齐次方程y′+py=q的特殊情况，两者既有联系又有差别。
  
y′+py=0的通解 一定不是非齐次方程y′+py=q的解。由于非齐次方程y′+py=q的右端是x的函数q(x)，因此可设想将 中的常数C换成待定函数 c(x)后，使函数 是非齐次线性方程y′+py=q的解。
在上述设想下，作如下推导：
令 为非齐次方程y′+py=q的解，将y及
y′= 代入方程y′+py=q中：
有 
所以 
于是，当C(x)取适当函数 时函数 一定是非齐次线性方程y′+py=q的解，即其通解为
说明:上述求得非齐次线性方程y′+py=q的通解的方法称为常数变易法。
  
其通解 作为公式不易记忆，因此不提倡学生去背公式，要根据推导过程，即利用常数变易法来求解一阶线性非齐次方程。总结其步骤如下：
1、先求与其对应的齐次方程y′+py=0的通解为 
2、再设一阶线性非齐次微分方程的解为 即将所求出的齐次方程通解中的积分常数C改为待定函数C（X），其方法叫做常数变易法。
  
3、将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方程，便可解出C（X）。于是可求出非齐次线性微分方程的通解。（注：该步骤代入后必有py与－py抵消，如果不能抵消。那么一定是相应的齐次微分方程的解不正确，或者是运算中有误）。
　
四、举例
　
例1求方程 的通解
解（一）先求对应齐次方程 的通解
因为 ，所以 
有y=cx    (其中C为任意实数)
设原方程的解为y=c(x)x，则y′=c′(x)x+c(x)将y及
y′ 代入原方程有：
所以c′(x)=x, 
故原方程的通解为 
（其中C为任意实数）
解（二）直接代入公式求解
由于   
所以 
      （C为任意常数）
例2解微分方程 
解：先求对应齐次方程 的通解
因为 
所以ln|y|=-ln|sinx|+lnc
齐次方程的通解为 
设原方程的解为 
将y及y′代入原方程有：
所以 
故原方程的通解为 
　
五、课堂练习
　
1、求解微分方程 
2、求解微分方程 
答案：
1、变形： 为一阶线性非齐次微分方程，先求对应齐次方程 通解。
  
由于 所以有 
故lny=lnx+lnc
齐次方程的通解为y=cx（c为任意常数）
设原方程的解为y=c(x)x则y′=c′(x)x+c（x）
代入原方程： 
有 
所以原方程的通解为： 
（C为任意实数）
2、变形： 为一阶线性非齐次微分方程。
  
先求对应齐次方程  的通解
因为 
故ln|y|=nln|x+1|+lnc
即 为齐次方程的通解
设原方程的解为 
则 
将y, y′代入原方程有：
则有： 
即原方程的通解为 
（C为任意实数）
来源: 。