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2006-02-18 14:59:56

•   1、f(ax+b)=f(cx+d),当a,b,c,d取何值时，f(x)对称
  命题：当f(x+b)＝f(-x+d)时，y＝f(x)关于x＝(b+d)/2对称
  证明：设P(x′,y′)是y＝f(x)上任一点，它关于x＝(b+d)/2的　　对称点为Q(x,y) ,则x′＝b+d-x，y′＝y
  下面只需说明Q也在y＝f(x)上即可。
    
  因为f(x+b)＝f(d-x) 、y′＝f(x′)
  所以y＝y′＝f(x′)＝f(b+d-x)＝f[d+(b-x)]
  　　　＝f[b-(b-x)]＝f(x)
  所以Q(x,y)在y＝f(x)上
  由P的任意性可知，命题成立。
  2、f(ax+b)=-f(cx+d),当a,b,c,d取何值时，f(x)对称
  命题：当f(x+b)＝-f(-x+d)时，y=f(x)关于点((b+d)/2,0)对称
  证明：设P(x′,y′)是y＝f(x)上任一点，
  　　　它关于点（(b+d)/2,0)的对称点为Q(x,y) ,
  则x′＝b+d-x，y′＝-y
  下面只需说明Q也在y＝f(x)上即可。
    
  因为f(x+b)＝-f(d-x) 、y′＝f(x′)
  所以y＝-y′＝-f(x′)＝-f(b+d-x)＝-f[d+(b-x)]
  　　　＝f[b-(b-x)]＝f(x)
  所以Q(x,y)在y＝f(x)上
  由P的任意性可知，命题成立。
    
  3、当a,b,c,d取何值时,y=f(ax+b)和y=f(cx+d)对称
  命题：y=f(x+b)和y=f(-x+d)关于x＝(d-b)/2对称
  证明：设P(x′,y′)是y＝f(x+b)上任一点，则y′＝f(x′+b)
  因为P关于x＝(d-b)/2的对称点为：Q(d-b-x′,y′)
  所以f[d-(d-b-x′)]＝f(b+x′)＝y′＝y
  即Q(d-b-x′,y′)点在y＝f(d-x)上
  由P的任意性可知，命题成立。
    
  4、当a,b,c,d取何值时,y=f(ax+b)和y=-f(cx+d)对称
  命题：y＝f(x+b)与y＝-f(-x+d)关于点((d-b)/2,0)对称
  证明：设P(x′,y′)是y＝f(x+b)上任一点，则y′＝f(x′+b)
  因为P关于点((d-b)/2,0)的对称点为：Q(d-b-x′,-y′)
  所以f[d-(d-b-x′)]＝-f(b+x′)＝-y′＝y
  即Q(d-b-x′,y′)点在y＝f(d-x)上
  由P的任意性可知，命题成立。
    
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  金***

  2006-02-18 14:59:56

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