对定义域在R上的函数y＝f(x)
1、f(ax+b)=f(cx+d),当a,b,c,d取何值时，f(x)对称
当a=1，c＝-1或a＝-1,c＝1时，有：
命题：当f(x+b)＝f(-x+d)时，y＝f(x)关于x＝(b+d)/2对称
证明：设P(x′,y′)是y＝f(x)上任一点，它关于x＝(b+d)/2的对称点为Q(x,y) ,则x′＝b+d-x，y′＝y
下面只需说明Q也在y＝f(x)上即可。
  
因为f(x+b)＝f(d-x) 、y′＝f(x′)
所以y＝y′＝f(x′)＝f(b+d-x)＝f[d+(b-x)]
　　　＝f[b-(b-x)]＝f(x)
所以Q(x,y)在y＝f(x)上
由P的任意性可知，命题成立。
例：对函数f(x)＝|x-1|
因为f(x-1)＝f(-x+3) 
所以f(x)＝|x-1|的对称轴为：x＝[3+(-1)]/2＝1
2、f(ax+b)=-f(cx+d),当a,b,c,d取何值时，f(x)对称
命题：当f(x+b)＝-f(-x+d)时，y=f(x)关于点((b+d)/2,0)对称
证明：设P(x′,y′)是y＝f(x)上任一点，
　　　它关于点（(b+d)/2,0)的对称点为Q(x,y) ,
则x′＝b+d-x，y′＝-y
下面只需说明Q也在y＝f(x)上即可。
  
因为f(x+b)＝-f(d-x) 、y′＝f(x′)
所以y＝-y′＝-f(x′)＝-f(b+d-x)＝-f[d+(b-x)]
　　　＝f[b-(b-x)]＝f(x)
所以Q(x,y)在y＝f(x)上
由P的任意性可知，命题成立。
  
3、当a,b,c,d取何值时,y=f(ax+b)和y=f(cx+d)对称
命题：y=f(x+b)和y=f(-x+d)关于x＝(d-b)/2对称
证明：设P(x′,y′)是y＝f(x+b)上任一点，则y′＝f(x′+b)
因为P关于x＝(d-b)/2的对称点为：Q(d-b-x′,y′)
所以f[d-(d-b-x′)]＝f(b+x′)＝y′＝y
即Q(d-b-x′,y′)点在y＝f(d-x)上
由P的任意性可知，命题成立。
  
例：对函数f(x)＝2x-1
因为f(x+3)＝2(x+3)-1＝2x+5
　　f(-x+1)＝2(-x+1)-1＝-2x＋1
所以y1＝2x+5与y2＝-2x+1关于x＝(1-3)/2＝-1对称
4、当a,b,c,d取何值时,y=f(ax+b)和y=-f(cx+d)对称
命题：y＝f(x+b)与y＝-f(-x+d)关于点((d-b)/2,0)对称
证明：设P(x′,y′)是y＝f(x+b)上任一点，则y′＝f(x′+b)
因为P关于点((d-b)/2,0)的对称点为：Q(d-b-x′,-y′)
所以f[d-(d-b-x′)]＝-f(b+x′)＝-y′＝y
即Q(d-b-x′,y′)点在y＝f(d-x)上
由P的任意性可知，命题成立。
  
从命题中比较，就可得出a、c的值。
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