坑爹的数学题
已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a为大于零的常数
注：分母为x 分子为a
（1）求函数f（x）定义域
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值
（3）若对于任意X∈[2，+∞]恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围。
1）定义域还要考虑a的取值情况，观察不难发现 a>1时，定义域为x>0 当a=1时，定义域为x>0，但x不等于1 a0 从根的判别式可知，有2个不同的实数根。 就是说对于二次函数开口向上，与x轴有2个交点，要求其大于零。 x=[2±√(4-4a)]/2=1±√(1-a) 所以其定义域为01+√(1-a) 2） 考虑函数g(x)=x+a/x-2 g'(x)=1-a/x^2,可知当x=√a时，g'(x)=0 可见在考察的[2，+∞）上，没有导数为0的点， 显然该函数在[2，+∞）上单调增，因而f(x)也单调增 所以最小值 Min [f(x)]=f(2)=lg(a/2) 3) f(x)>0相当于g(x)>1 即： x+a/x-3>0 首先，仍然要求x>0 （根据题设a>0） ...
(1)函数 f(x)=lg(x+a/x-2),
则 x+a/x-2>0，即(x^2-2x+a)/x>0，
当00且x^2-2a+a>0, 得定义域 01+√(1-a);
② x1时, 因x^2-2x+a>0，定义域为 x>0.
(2) a∈(1,4), x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1, 因2>1,
则f(x)在[2，+∞)上的最小值为 f(2)=lg{[(2-1)^2+a-1]/2}=lga-lg2.
(3)f(x)=lg(x^2-2x+a)/x>0,
得(x^2-2x+a)/x>1, 即(x^2-3x+a)/x>0，
x^2-3x+a=(x-3/2)^2+a-9/4>0，因对于任意X∈[2，+∞)恒成立，
由于2>3/2, 则将x=2代入上式，得a>2.
（1）∵f(x)=lg(x+a/x-2)，a=1，
∴由x+1/x-2＞0得:
x^2-2x+1/x=(x-1)^2/x＞0
∵(x-1)^2＞0 ; x≠0
∴ x＞0且x≠1
解得，f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+a/x-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，
∴a＞3x-x2，而h(x)=3x-x^2=-(x-3/2)^2+9/4
∴函数在x∈[2，+∞）上是减函数
∴h（x）max=h（2）=2，
∴a＞2．
答：(1)由x+a/x-2>0得01时,定义域 为(0,正无穷). 当a∈（1，4）时,函数f（x）在[2，+∞）上单调递增,函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为...详情>>
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