可两次使用Caucny不等式证明： a3＋b3＋c3 ≥(a2＋b2＋c2)2/(a＋b＋c) =[(a2＋b2＋c2)/(a＋b＋c)]·(a2＋b2＋c2) ≥[(a＋b2＋c2)/(a＋b＋c)]·[(a＋b＋c)2/(1＋1＋1)] =(1/3)(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)， ∴a3＋b3＋c3≥(1/3)(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)。
请不要选用下面的回答.仅作探讨用. (1). 用契比雪夫不等式: a_1 a_1b_1 + ... + a_nb_n >= 1/n(a_1+ ... +a_n)(b_1 + ... +b_n). => a^3+b^3+c^3 = a * a^2 + b * b^2 + c * c^2 >= 1/3 (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) (2). 用Holder不等式 => a + b + c (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = 1/3(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2).
3（a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) =3（a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2) =2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-ab^2-b^2c-ac^2-bc^2 =(a^3+b^3-a^2b-ab^2)+(b^3+c^3-bc^2-b^2c)+(c^3+a^3-ca^2-ac^2) =(a+b)(a^2-2ab+b^2)+(b+c)(b^2+c^2-2bc)+(a+c)(a^2+c^2-2ac) =(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(a+c)(a-c)^2 ≥0 所以 a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
答：楼上的解答很好。但第三种没有证完。 证 a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c a^3*b+b^3*c+c^3*a-abc(a+b+c)>=0 ...详情>>
答：详情>>
