则四面体ABCD的体积的最大值为?
已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为?
定理:如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离为d,所成的角为α,那么它的体积为V=abd sinα /6。 根据这个定理,我们首先得到结论:AB和CD必须垂直,方能得到最大的体积。 其次,由于AB=CD=R(球的半径),所以如果连结球心O和四个顶点,则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形。
设AB的中点为E,CD的中点为F,则OE⊥AB,OF⊥CD。 设AB与CD间的距离为d,则根据定义,应有d≤EF≤OE+OF。 因此,OEF共线时,四面体的体积可以达到最大值,且容易知道这样的四面体存在。 因为OE=OF=√3,故最大值为V=8√3/6。
d≤EF的证明: 定理 两条异面直线m和n,d是其距离,若E是m上一点,F是n上一点,则d≤EF。 证明 不妨设m和n的公垂线段的两端点为A和B,A∈m,B∈n。 过B做m'//m,并在m'上取点E',使得EE'//AB。容易知道,此时ABEE是平行四边形(对边互相平行),所以AB=EE'。
因为AB⊥m,所以AB⊥m';又因为AB⊥n,所以AB⊥平面FBE'。从而EE'⊥平面FBE'。 因而,EF=√(EE'^2+E'F^2)≥EE'=d。
答:1. 这是计算四面体体积的辛普森公式: V=(2/3)*H(两条异面对棱间的距离)*S(平行于此两条异面对棱,并介于此两条异面对棱正中间的截面平行四边形的面积)...详情>>
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