全部答案

2018-01-29 08:45:07

•   已知 在凸四边形ABCD中，AB CD=BC AD。 
  求证 四边形ABCD有内切圆。 
  证1 设∠A,∠B的平分线交于点O,过O分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足分别是E,F,G,H。连结OC,OD。
    则 △AHO≌△AEO,△BEO≌△BFO(ASA),所以0H=0E=OF，AH=AE,BE=BF。  
  因AB CD=BC AD，故DH CE=CD。把△CFO和△DHO向△CDO内翻折，则点F,H至点G,换句话说，△CFO和△DHO拼接成的△CDO’≌△CDO(SSS),于是OG=0H=0E=OF,四边形ABCD有内切圆。
      
  证2（同一法）设∠A,∠B的平分线交于点O,过O作AB的垂线，垂足为E。以O为圆心，OE为半径作圆，分别切BC,AD于F,H,过C作CD’,与圆O切于G,与射线AD交于D’。则 
  AE=AH,BE=BF,CG=CF,D’G=D’H, 
  所以AB CD’=BC AD’。
     
  已知AB CD=BC AD，两式相减得∣CD-CD’∣=DD’。若DD’≠0，则有△CDD’的两边之差等于第三边，矛盾。所以D’与D重合，四边形ABCD有内切圆。

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  暮***

  2018-01-29 08:45:07

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