爬楼梯问题（专家级）
假设有M阶梯的楼，你可以每次跨1到N步，其中M》N，请问刚好爬到M阶梯，有几种爬法。（只前进不后退） 比如M=30,N=4,即30阶楼梯，每次可以跨1步或者2步或者3步或者4步，答案是多少呢？
弱一点的 有M阶梯的楼，你可以每次跨1到N步，其中N=M-1，问刚好爬到M阶梯，有几种爬法。（只前进不后退） C1(M-1)+C2(M-1)+…+C（M-1）(M-1)=2^(M-1)-1
解答：
设刚好爬到K（1≤K≤M）阶梯有A(K)种不同爬法，按条件不难得出：
A(1)=1,a(2)=2,…,A(N)=2^(N-1) 当1≤K≤N时
A(K)=A(K-1)+A(K-2)+…+A(K-N) 当N＜K时
通过上式不断迭代求出需要的A(M)，但若不用编程或不采用大数计算器，很难正确求得正确结果。
下面想法找出一般计算公式求A(M)：
上面方程的特征方程为 x^N-x^(N-1)-…-x-1=0 (1)
解为 A(n)=C(1)*z(1)^n+C(2)*z(2)^n+…+C(N)*z(N)^n
其中C(i),i=1,…,t是常数，z(i),i=1,…,t是方程（1）的N个根。
仔细分析后可知，这N个根中有且只有1个根的模大于1(1实根。
所以，刚好爬到M阶梯的不同爬法
A(M)= round{(1-r)/(2N-(N+1)r)*r^M } （2）
其中round(y)为最接近y的整数，即y四舍五入得到的整数。
计算公式（2）是严格精确的，实际计算可能的误差只是计算过程中产生的误差。
例如，N=4时，r≈1。9275619754829253
按（2）式很容易算得A(30)=201061985，A(45)= 3788394725871
经验算，这两个结果正确。
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此问题似乎没有大家所说的那么难。
引入记号H(M,N)表示M阶楼梯，每步至多N阶的走法总数，以下结论是明显的： H(1,1)=1；H(M,1)=1；H(2,2)=2=F3（斐波那契数列第三项）； H(M,2)=F(M+1)（斐波那契数列第M+1项）； H(3,3)=4 H(M,M)=1+C(M-1,1)+C(M-1,2)+…+C(M-1,M-1)=2^(M-1) H(M,M-1)=H(M,M)-1=2^(M-1)-1； 以下考虑，M≥4,3≤N≤M-2的情形 数学模型很简单，但要得出具体表达式却需要一些计算 H(M,N)实际就是下式展开式中的x的M次方项的系数 f(x)=(1+x+x^2+…+x^N)^M 或者转化为 g(x)=[(1-x^(N+1))/(1-x)]^M的展开式的x^M项的系数！ 即[1-x^(N+1)]^M*(1+x+x^2+…)^M展开式的x^M项的系数！ 这里简单说明一下原理： 因为不论每步上几阶，但上完后总阶数是M，换成上述模型中的解释是，表达式中每一项中x的指数表示一步所跨阶数，因为即使每步上一阶，至多需要走M步，所以外面的M次方就表示这个意思，展开式中的x^n项，就是通过若干步上了n阶，现在我们只关心若干步后上了M阶，所以要考察x^M的情况，那么这一项是怎样的来的呢？那就是由M个相同的多项式中x的不超过M次的项乘积得出的，每构成一个x^M，都代表一种完成任务的方法，于是，它的系数就是完成这一事件的方法总数，即H(M,N)。
设n，n+1,n+2,n+3个台阶时用的方法分别为A(n) ， A(n+1)， A(n+2)，A(n+3) 则再增加一个台阶（即n+4）时要么 最后一步只跨一个台阶，即A(n+3)种方法， 或走后一步跨两个台阶，即A(n+2)种方法， 或走后一步跨三个台阶，即A(n+1)种方法， 或走后一步跨四个台阶，即A(n)种方法 所以有A(n+4)= A(n+3)+ A(n+2)+ A(n+1)+ A(n) A(1)=1, A(2)=2, A(3)=4, A(4)=8, 所以由计算机的A(30)= 201061985,
比如M=30,N=4,即30阶楼梯，每次可以跨1步或者2步或者3步或者4步，答案是多少呢？ 分部进行： 从０到４有以下８种走法：１１１１，１１２，１２１，２１１，２２，１３，３１，４； 从４到８有８种走法；以此类推，从８到１２，从１２到１６，＾从２４到２８有８种走法，从２８到３０有２种走法（１１，２）所以一共有８＾７＊２＝２＾３０种走法．
……
答：这是根据上下楼的方向不同详情>>
答：详情>>
答：x->0:lim(1+x)^(-1/x) =1/[x->0:lim(1+x)^(1/x) =1/e x->∞:limxsin(1/x) =1/x->0:lim[...详情>>
问：中国近代数学研究和教育的奠基人是谁，他毕生追求“科学教育，教育救国”
答：第一个华罗庚 第二个陈景润详情>>
答：对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评详情>>
