【解法一】 令sinx =t,则 函数f(x) -1 =(cosx)^2+msinx+m-2, x∈[π/6, π/2]。 变形为： g(t) = -t^2 +mt +m -1 ,t∈[1/2, 1]。 “f(x) ＜1 恒成立”变成“g(t) ＜0 恒成立”。
-b/(2a) =m/2 (1)若 1/2≤m/2≤1，即 1≤m≤2， f(x) ＜1 恒成立就是 g(m/2) ＜0 m^2 /4 + m -1 ＜0 (m +2)^2 ＜8 -2(√2 -1)＜m＜2(√2 -1) [小结1] 此时 m 无解。
(2)若 m/2＜1/2 ，即 m＜1， f(x) ＜1 恒成立就是 g(1/2) ＜0 -1/4 +m/2 +m -1 m＜5/6 [小结2] 此时 m＜5/6。 (3)若 m/2＞1 ，即 m＞2， f(x) ＜1 恒成立就是 g(1) ＜0 -1 +m +m -1 ＜0 m ＜1 [小结3] 此时 m无解。
综上所述，m存在：m＜5/6 。 【解法二】 f(x)=(cosx)^2+m*sinx+m-1 ,x∈[π/6, π/2]。 f(x) -1 =1 -(sinx)^2 +m*sinx +m -2 =(1 +sinx)(m +1 -sinx)-2 ＜ 0 m ＜(1 +sinx) +2/(1 +sinx) -2 ∵x∈[π/6, π/2] ∴(1 +sinx)∈[3/2, 2]。
利用函数g(x) =x +2/x , 在x∈[3/2, 2]上的最小值是 g(3/2) =3/2 +4/3 =17/6 知(1 +sinx) +2/(1 +sinx) -2 在x∈[π/6, π/2]上的最小值是5/6 所以 m＜5/6。
答：伪命题: f(x) >= sin x + cos x = ( ( sin x + cos x )^2 )^(1/2) = (1+ sin 2x )^(1/2) ...详情>>
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