设a1,a2,....an 是n个n维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示. 证明 (i)必要性：因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组，因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。 (ii)充分性：因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示，特别地，n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示；另一方面，n维向量组a1,a2,…,an显然可由n维单位向量组e1,e2,…,en线性表示,所以向量组a1,a2,…,an与向量组e1,e2,…,en等价。由于向量组e1,e2,,…,en线性无关,故向量组a1,a2,…,an也线性无关。
设a1,a2,....an 是n个n维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示. 证明 (i)必要性：因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组，因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。 (ii)充分性：因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示，特别地，n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示；另一方面，n维向量组a1,a2,…,an显然可由n维单位向量组e1,e2,…,en线性表示,所以向量组a1,a2,…,an与向量组e1,e2,…,en等价。由于向量组e1,e2,,…,en线性无关,故向量组a1,a2,…,an也线性无关。
答：设a1,a2,...,an是线性无关。假设其中一部分组却是线性相关的，不妨设a1,a2,...,ak(k<n)线性相关，那么存在不全为0的p1,p2,...,p...详情>>
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