将第1列乘以-1，加到2，3，4列上得：
。。1。。。。。。。。。0。。。。。。。。。。。。0。。。。。。。。。。。。0
cosa。。。。cosb-cosa。。。。cosc-cosa。。。。cosd-cosa
cos2a。。cos2b-cos2a。
  。cos2c-cos2a。。cos2d-cos2a
cos3a。。cos3b-cos3a。。cos3c-cos3a。。cos3d-cos3a
由倍角公式和三倍角公式可得
cos2b-cos2a=2(cosb-cosa)(cosb+cosa)
cos3b-cos3a=(cosb-cosa)(4cos^2b+4cosbcosa+4cos^2a-3)
上述行列式按第1行展开，
并提取2(cosb-cosa)(cosc-cosa)(cosd-cosa)得：
。
  。。。。。。1。。。。。。。。。。。1。。。。。。。。。。。1
(cosb+cosa)。。(cosc+cosa)。。(cosd+cosa)
4cos^2b+4cosbcosa+4cos^2a-3。。4cos^2c+4cosccosa+4cos^2a-3。
  
4cos^2d+4cosdcosa+4cos^2a-3
（第3行太长，请按顺序对应好）
再将上述行列式的第一列
乘以-1加到第2，3列上得：
。。。。。。。1。。。。。。。。。。。0。。。。。。。。。。。0
(cosb+cosa)。
  。(cosc-cosb)。。(cosd-cosb)
4cos^2b+4cosbcosa+4cos^2a-3。。4(cosc-cosb)(cosc+cosb+cosa)。。4(cosd-cosb)(cosd+cosb+cosa)
按第一行展开并提取4(cosc-cosb)(cosd-cosa)得一二阶行列式：
。
  。。。。。。1。。。。。。。。。。。。。。。1
cosc+cosb+cosa。。cosd+cosb+cosa
=cosd-cosc
所以原行列式=8(cosb-cosa)(cosc-cosa)(cosd-cosa)(cosc-cosb)(cosd-cosa)(cosd-cosc)
还可以进行行变换，第1行加到第3行；第2行乘以3，加到第4行，再提取8，就会得到一个范德蒙行列式：
。
  。。1。。。。。。。1。。。。。。。1。。。。。。。1
。cosa。。。。cosb。。。。cosc。。。。cosd
cos^2a。。cos^2b。。cos^2c。。cos^2d
cos^3a。。cos^3b。。cos^3c。。cos^3d
具体计算不再赘述！。