求函数f(t)=(1+sint)/(2+cost) 的最值。 解 令k=(1+sint)/(2+cost), 则k可看成坐标平面XOY内过点A(cost,sint) 及B(-2,-1) 的直线斜率。 由于A在圆 x^2+y^2=1上运动, 可见, 当直线BA是圆的切线时, 斜率k取得极值。
设过B点的切线方程为:y+1=k(x+2) y=kx+2k-1。 则 ︱2k-1︱=√(1+k^2) 。 (2k-1)^2=1+k^2。 解得:k1=0,k2=4/3。 故f(t) 的最小值为0,f(t) 的最大值为4/3。 参见 解 设tan(A/2)=x，则sinA=2x/(1+x^),cosA=(1-x^2)/(1+x^2)。
对f(A)作置换得:令y=f(A) y=(x^2+2x+1)/(x^2+3) [y-1]x^2+2x+3y-1=0 因为f(A)是实数，由判别式得: 4-4(y-1)*(3y-1)≥0 3y^2-4y≤0 解此不等式得:0≤y≤4/3。
所以f(A)=(sinA-1)/(cosA-2)的最大值为4/3，最小值为0。 。
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