一条数学题100分啊!!!!!!!
定义：［a ，b］表示满足a≤x≤b的所以实数x，同理（a ，b）表示满足a＜x＜b的所有实数x（其中a＜b）
定理：若函数g（x）在［a ，b］上图像连续不断，且 g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0∈（a ，b),使g（x0）=0
已知实数a，b，c满足a/m+2 ＋ b/m+1 ＋ c/m =0,其中m＞0,f(x)=ax2+bx+c
求:若a≠0,证明关于x的方程f(x)=0在(0 , 1)内必有解
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题目大概是这样的: 已知实数a，b，c满足a/(m+2)＋b/(m+1)＋c/m =0,其中m＞0,设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),证明:关于x的方程f(x)=0在(0 , 1)内必有解。 证明:作辅助函数g(x)=(a/(m+2))x^(m+2)＋(b/(m+1))x^(m+1)＋(c/m)x^m, 则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且由条件可知 g(0)=g(1)=0, 所以,g(x)在[0,1]上满足罗尔(Rolle)定理的三个条件,于是可知,在(0,1)内至少存在一点ξ∈(0,1),使得g'(ξ)=0。
而g'(x)=ax^(m+1)＋bx^m＋cx^(m-1),x∈(0,1), 所以,aξ^(m+1)＋bξ^m＋cξ^(m-1)=0, 于是 aξ^2＋bξ＋c=0,(因为ξ>0) 即 ξ是方程ax^2＋bx＋c=0的一个解, 因此,关于x的方程f(x)=0在(0,1)内必有解。
解：因为f(0)=c;f(1)=a+b+c ∴f(0)*f(1)=c(a+b+c) 当c=0时，有f(x)=ax^2+bx;a/(m+2)+b/(m+1)=0 当f（x）=0时，解得x1=0；x2=-b/a=（m+1）/（m+2）＜1 又∵m＞0 ∴x2∈（0，1） 当c≠0 c=-[ma/(m+2)+mb/(m+1)] a+b+c=2a/(m+2)+b/(m+1) c(a+b+c)=-[ma/(m+2)+mb/(m+1)]*[2a/(m+2)+b/(m+1)]===== -[2m/(m+2)*(a+3b/(4m+4))^2+2m(8m^2+15m+16)*b^2<0 所以关于x的方程f(x)=0在(0 , 1)内必有解
c=-[ma/(m+2)+mb/(m+1)] a+b+c=2a/(m+2)+b/(m+1) c(a+b+c)=-[ma/(m+2)+mb/(m+1)]*[2a/(m+2)+b/(m+1)]===== -[2m/(m+2)*(a+3b/(4m+4))^2+2m(8m^2+15m+16)*b^2<0 所以关于x的方程f(x)=0在(0 , 1)内必有解
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