相似多边形的面积比等于对应边之比的平方为什么
简言之:线,是一度空间;量纲为L。 面,是二度空间;量纲为L*L。 (体,是三度空间;量纲为L*L*L。) 所以,相似多边形(可推广到其他相似形:如圆)的面积比等于对应边之比的平方。 具体证明,只需利用相似三角形就行了。不赘述了。
首先证明 相似三角形面积之比等于对应边之比的平方。 设 △ABC∽△A’B’C’ AB∶A’B’=BC∶B’C’=CA∶C’A’=k 设 AB边上的高为h,A’B’边上的高为h’ 可以证明 h∶h’=k (证明很简单,从略。) △ABC的面积∶△A’B’C’的面积 =1/2ABh∶1/2A’B’h’ ={(k*A’B’)*(k*h’)}∶(A’B’*h’) =k*k 现在来证明正题 设有两个相似多边形 多边形-ABC…PQ 和 多边形-A’B’C’…P’Q’ 对应边之比为k 在这两个多边形中,以某个对应顶点(例如A和A’)向其他顶点作对角线,把每个多边形各自分成n个三角形。
(n=多边形的边数-2) △1,△2,△3,…△n △1’,△2’,△3’,…△n’ 一一对应。 可以证明对应的三角形是相似三角形,其对应边之比就是多边形对应边之比k,对应三角形面积之比就是k*k,即 △1∶△1’=△2∶△2’=△3∶△3’=…=△n∶△n’=k*k (△后面省去了“的面积”三个字) 根据比例性质 若 a∶b=c∶d=e∶f=…=m 则 (a+c+e+…)∶(b+d+f+…)=m 我们得出 (△1+△2+△3+…+△n)∶(△1’+△2’+△3’+…+△n’)=k*k 上面的比例式中,前项就是 多边形-ABC…PQ的面积 而后项是 多边形-A’B’C’…P’Q’的面积。
证明完毕。 (说明:上面各式中,用k*k表示k的平方。) 。
问:数学问题?如果两个相似多边形的最长边分别为35m和14m,它们的周长差是60m,那么这两个多边形的周长分别为______,______. 为什么?
答:设最长边为14m的多边形周长为x,则另一多边形的周长为y=x*(35/14)。 那么y-x=60=[(35/14)-1]x,得x=40m,y=100m。详情>>
问:小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时,他行1小时可行多少千米?(为...
答:1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问:甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答:(38+41)x2.5=197.5千米详情>>