已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,离心率该椭圆与直线在第一象限交于点,且直线...
已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,离心率该椭圆与直线在第一象限交于点,且直线被椭圆截得的弦长为,过作倾斜角互补的两直线,分别与椭圆交于,两点(与,均不重合).
求椭圆的方程;
求证:直线的斜率为定值;
求三角形面积的最大值.
由题设知:,,由此能求出椭圆的方程。
由,设,由直线与的倾斜角互补,知,直线,直线。由,得,由是与椭圆的交点,知为的一个根,另一个根为,,,,同理,由此能求出直线的斜率为定值。
设与轴交点为,,,又,的方程为。
由,得。由,得,再由韦达定理和两点间距离公式进行求解。
解:由题设知:,,
,,
即,
设所求的椭圆的方程为。
由,得,,。
两交点分别为,,
,
,。
所求的椭圆的方程为。
由知,
设,
直线与的倾斜角互补,
,
直线,直线。
由,得,
是与椭圆的交点,
为的一个根,另一个根为,
,
,
,
同理,
。
设与轴交点为,,,
又,
的方程为。
由,得。
由,得,
,,
。
,
,
到的距离即为到的距离,
,
当时,三角形面积的最大值为。
本题考查椭圆方程的求法,直线斜率的计算和三角形面积的最大值的求法。
解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化。
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