设点是圆上任意一点,由点向轴作垂线,垂足为,且.()求点的轨迹的方程;()设直线...
设点是圆上任意一点,由点向轴作垂线,垂足为,且.
()求点的轨迹的方程;
()设直线与()中的轨迹交于不同的两点,.
若直线,,的斜率成等比数列,求实数的取值范围;
若以为直径的圆过曲线与轴正半轴的交点,求证:直线过定点(点除外),并求出该定点的坐标.
()代入法:设点,,则由题意知,由可得点与点坐标间的关系式,再根据点在圆上代入点坐标即可得到坐标方程,即所求轨迹方程;
()设,,联立消掉得的二次方程,由题意知,根据直线,,的斜率成等比数列,得,即,借助韦达定理可得,的等式,进而求得值,代入即可解得的范围;依题意,,即,变形为,的式子,进而用韦达定理可得,的等式,据与的关系式消掉直线方程中的,即可求得该直线所过定点;
解:()设点,,则由题意知。
由,,且,得。
所以,于是,
又,所以。
所以,点的轨迹的方程为。
()设,。
联立,得。
所以,,即。
,且,
依题意,,即,所以。
所以。
所以,即。
因为,所以,解得。
将得代入,得。
所以,的取值范围是。
曲线与轴正半轴的交点为。
依题意,,即。
于是。
,即,
,
化简,得。
解得,或,且均满足,
当时,直线的方程为,直线过定点(舍去);
当时,直线的方程为,直线过定点。
所以,直线过定点。
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,轨迹方程,直线斜率及等比数列等有关知识,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较大。
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