选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M=a2-13的一个特征值为1.(Ⅰ)求矩阵M的另...
选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=a2-13的一个特征值为1.
(Ⅰ)求矩阵M的另一个特征值;
(Ⅱ)设α=32,求M5α.
解:(Ⅰ)矩阵M的特征多项式f(λ)=λ-a-21λ-3=(λ-a)(λ-3) 2,…(1分)
又∵矩阵M的一个特征值为1,
∴f(1)=0,∴a=0,…(2分)
由f(λ)=λ(λ-3) 2=0,得λ1=1,λ2=2,
所以矩阵M的另一个特征值为2.…(3分)
(Ⅱ)矩阵M的一个特征值为λ1=1,对应的一个特征向量为ξ1=21,…(4分)
另一个特征值为λ2=2,对应的一个特征向量为ξ2=11,…(5分)
∵α=ξ1 ξ2,
∴M5α=M5(ξ1 ξ2)=1521 2511=3433.…(7分)
答:一般根据这些特征值不可以判断出它的秩. 但如果0不是特征值,则矩阵可逆,故满秩.详情>>
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