1。 求极限
(1) lim∫[(e^t-1)dt]/(x^2)  (罗必塔法则)
=lim(e^x-1)/(2x)=limx/(2x)=1/2。
(2) lim(xy)/[2-√(4-xy)]
=lim(xy)[2+√(4-xy)]/(xy)=4。
  
(3) lim∫[sin(t^2)/t]dt/(x^2) (罗必塔法则)
=lim[sin(x^2)/x]/(2x)=limx/(2x)=1/2。
(4) lim(xy)/[2-√(xy+4)]
=lim(xy)[2+√(xy+4)]/(-xy)=-4。
  
2。 求定积分
(1) 令√(5-4x)=u，则 x=(5-u^2)/4, dx=-udu/2, 于是
∫[x/√(5-4x)]dx=∫[(5-u^2)/(4u)](-u/2)du
=(1/8)∫[(5-u^2)du=(1/8)[5u-u^3/3]=1/6。
  
(2) ∫[1/(1+x)√x]dx=2∫[1/(1+x)]d√x
=2[arctan√x]=π/2。
3, 广义积分
(1) ∫[xe^(-x)]dx=-∫[xde^(-x)]
=-[x/e^x]+∫e^(-x)dx=0-[e^(-x)]=1。
  
(2) ∫[xe^(-2x)]dx=(-1/2)∫[xde^(-2x)]
=(-1/2)[x/e^(2x)]+(1/2)∫e^(-2x)dx=0-(1/4)[e^(-2x)]=1/4。
4。 u=x^(yz), 应补充条件 x>0。
u'=yzx^(yz-1), u'=zx^(yz)lnx, u'=yx^(yz)lnx,
du=yzx^(yz-1)dx+x^(yz)lnx*(zdy+ydz)。
  
5。 z=(3x^2+y^2)^(4x+2y), 应补充条件 x^2+y^2≠0。
lnz=(4x+2y)ln(3x^2+y^2), z'/z=4ln(3x^2+y^2)+6x(4x+2y)/(3x^2+y^2),
得 z'=4z[ln(3x^2+y^2)+3x(2x+y)/(3x^2+y^2)], 
类似得出 z'=2z[ln(3x^2+y^2)+2y(2x+y)/(3x^2+y^2)], 
dz=4z[ln(3x^2+y^2)+3x(2x+y)/(3x^2+y^2)]dx
   +2z[ln(3x^2+y^2)+2y(2x+y)/(3x^2+y^2)]dy。
  
6。 联立解 xy=1, y=x 得第一象限交点(1,1)，则
∫∫(x^2/y^2)dσ=∫(x^2)dx∫ dy/y^2
=∫(x^2)[-1/y] dx=∫(x^2)(x-1/x)dx=∫(x^3-x)dx
=[x^4/4-x^2/2]=16。
  
7。 联立解 y=x^2, y=2-x^2 得交点(-1,1), (1,1)，则
S=∫(2-x^2-x^2)dx=4∫(1-x^2)dx=4[x-x^3/3]=8/3。
8。 y=x^2, 4y=x^2, 在第一象限内即 x=√y, x=2√y, 则
S=2∫(2√y-√y)dy=2∫√ydy=(4/3)[y^(3/2)]=32/3。