①若xy≥0，则
|x-y|≤|x|+|y|=|x+y|.
于是，
M=max{|x+y|,|x-y|,|1-x|,|1-y|}
=max{|x+y|,|1-x|,|1-y|}
可见，M是|x+y|、|1-y|、|1-x|中的最大值，
故M不小于它们的算术平均值，即
M≥(|x+y|,|1-x|,|1-y|)/3
≥|(x+y)+(1-x)+(1-y|/3
=2/3,
当且仅当x=y=1/3时，M=2/3.
②若xy＜0，则
max{|1-x|,|1-y|}>1.
于是，
M=max{|x+y|,|x-y|,|1-x|,|1-y|}
≥max{|1-x|,|1-y|}
>1
>2/3.
故由①、②知Mmin=2/3。
M≥﹝|x+y|+|1-x|+|1-y|﹞／3≥|(x+y)+(1-x)+(1-y)|／3＝2／3 取x=y=1／3知M=2／3 所以M最小值为2／3
答案2/3是正确的，本人解答撤销。
以下严格推导【M的最小值为2/3】，其实是在受三楼思路的启发后所作的修改，特此声明。 易知x=1，y=0时，M=1，所以M的最小值不超过1......① 要使M最小值不超过1，必须 |x+y|≤1，|x-y|≤1，即|x|+|y|≤1......② 要使M最小值不超过1，必须|1-x|≤1，|1-y|≤1，即0≤x≤2，0≤y≤2.....③ 由②、③可知0≤x≤1，0≤y≤1，此时 M=max[x+y，1-x，1-y]≥[(x+y)+(1-x)+(1-y)]/3=2/3， 其中等号成立，即【M的最小值为2/3】的条件为x+y=1-x=1-y，即x=y=1/3。
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