1、首先，你可以百度一下积分中值定理在ξ∈[a,b]上的证明，在此略；
2、假设ξ取到了闭区间[a,b]的端点，且不存在x0∈(a, b)使得f(x0)=f(ξ)，不妨设ξ=a，由于f(x)连续，必定有：
f(a)>f(x)或f(a)f(x)，于是
∫f(x)dx f(a)dx = f(a)(b-a)=f(ξ)(b-a)矛盾
所以先前假设ξ取到了闭区间[a,b]的端点，且不存在x0∈(a, b)使得f(x0)=f(ξ)的假设是不成立的，于是命题得证。
补充一下证明：
当不存在x0∈(a, b)使得f(x0)=f(a)，由于f(x)连续，必定有：
f(a)>f(x)或f(a)x2（或x1f(a)且f(x2)
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