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2012-05-12 15:59:33

• 正8边形的每一个内角=180°*（8-2）/8=135°，
  135*2<360<135*3,
  正8边形ABCDEFGH和ABC'D'E'F'G'H'中，∠CBC'=90°<135°，无法嵌入另一个正8边形。CD⊥AB⊥C'D',易知C,D,C',D'共线，
  ∴无法用全等的正8边形铺满平面，但可以沿上下、左右拼凑。
  想摆a个八边形，需要（7a+1 ）根小棒,
  2012根小棒，可以摆288个这样的八边形.
  

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  l***

  2012-05-12 15:59:33

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2012-05-12 15:35:36

•   借用1个相邻关系可以节省1根，借用2个相邻关系可以节省2根。
  按照【紧密相靠】，【正方形形式扩展】，可以最节省火柴棒。
  设摆n个八边形需要f(n)根小棒，那么
  f(1)=8，
  f(2)=f(1)+7=15，f(3)=f(2)+7=22，f(4)=f(3)+6=28；
  f(5)=f(4)+7=35，f(6)=f(5)+6=41，f(7)=f(6)+7=48，f(8)=f(7)+6=54，f(9)=f(8)+6=60，
  每扩展一次正方形，需要增加[(n+1)^2]-(n^2)=2n+1个八边形，其中两个需要火柴量为7根，其他2n-1个需要火柴量为6根，总共需要增加 2*7+(2n-1)*6=12n+8，
  即 f[(n+1)^2]-f(n^2)=12n+8。
    
  所以 f(16)=104，f(25)=160，……，
  利用等差数列求和得：
  f(n^2)=8+(8+12)+(8+24)+(8+36)+……+[8+12(n-1)]=6n^2+2n：
  【答案1】f(3)=22；
  =====================================================
  【答案3】
  f(n^2+1)=f(n^2)+7=6n^2+2n+7：
  f(n^2+2)=f(n^2+1)+6=6n^2+2n+13：
  f(n^2+3)=f(n^2+2)+6=6n^2+2n+19：
  ……
  f(n^2+n)=f(n^2+n-1)+6==6n^2+8n+1：
  f(n^2+n+1)=f(n^2+n)+7=6n^2+8n+8：
  f(n^2+n+2)=f(n^2+n+1)+6=6n^2+8n+14：
  f(n^2+n+3)=f(n^2+n+2)+6=6n^2+8n+20：
  f(n^2+n+4)=f(n^2+n+3)+6=6n^2+8n+26：
  ……
  f[(n+1)^2]=f(n^2+2n)+6=6n^2+14n+8。
    
  =====================================================
  【答案2】f(20)=f(16)+7+6+6+6=129。
  =====================================================
  解不等式6n^2+2n≤2012＜6(n+1)^2+2(n+1)得n=18。
    
  即有2012根小棒，可以先摆出18^2=324个这样的八边形后，还剩下2012-f(18^2)=32根火柴，最多可以再摆5个八边形。
  【答案4】2012根小棒，最多可以摆出329个这样的八边形
  。

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  山***

  2012-05-12 15:35:36

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2012-05-12 14:04:39

•  八边形与小棒的关系是：小棒=7*八边形个数+1
  摆3个八边形需要(22 )根小棒；摆20个八边形需要( 141) 根小棒。如果想摆a个八边形，需要（7a+1 ）根小棒。 
  有2012根小棒，可以摆287个这样的八边形 
  2012=7*a+1
  a=287....2

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  不***

  2012-05-12 14:04:39

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