一个被撤销了的问题。
前面出现过一个问题，没见到好的解答就被撤消了，想听听各位的高见： “随机取球面的四点,它们共半球概率是多少?” 限定一下，所谓“共半球”指的是可以找到一个半球将四个点全装进去，这个半球本身不是预先给定的。
解答： 看了您几个解答他人问题，我觉得您很聪明且解答很完美，仔细分析您必能有好的解答。 下面是我收集到两个比较好的解答，供您参考，不知是否对您有所帮助： 解答一 一：任意取两点A和B，这两点和圆心O确定一个平面，不妨叫做赤道面，它和球面相交的圆即是赤道，赤道面将球面分为南北两个半球。
则另外两个点C和D在同一个半球（同在南半球或者同在北半球）的概率是1/2，反之:C和D分居两个半球的概率是1/2。 如果是前一种情况，那么A B C D肯定同半球，概率是1/2；如果是后一种情况，我们就不能确定四个点是否同半球，还要分情况讨论。
二：如果C和D分居两个半球，C的圆心对称点（过C点和圆心O的直线在另一个半球的交点）记作C'，D的圆心对称点记作D'，那么连接C' D'的最短弧（C' D'和圆心O确定的平面同球面相交的圆上，连接C' D'的那段较小的弧）同赤道肯定相交，交点记为P。
根据题设，可以证明下面几个结论： 1：交点P在赤道上是均匀分布的； 2：如果P落在连接A B的最短弧上，那么A B C D不同半球；反之，如果P落在连接A B的最长弧上，那么A B C D同半球；——注意：连接A B的最短弧和最长弧组成了赤道。
3：交点P落在A B的最短弧上的概率是1/4：反之落在最长弧上的概率是3/4。——注意这里是总的概率，也就是A B和P点都随机均匀分布在赤道上，P点落在A B最短弧上的概率。 补充：第三个结论和这样的命题是等价的，即在圆环上任取三点，这三点同半圆的概率是3/4，因为这里也可以根据其中一点的圆心对称点是否落在连接另两点的最短弧上来判定三点是否同半圆。
于是在C D分居两个半球的情形下，A B C D同半球的概率是3/4。 故：A B C D同半球的最终概率是：1/2＋(1/2)*(3/4)=7/8。 解答二 因为是均匀分布，所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的。
每个点都有一个对径点，这样便有n对点。在每对点中各取一点，共有2^n中取法，每种取法的概率密度是相同的。现在只要计算这2^n 种取法中，有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的，则所求概率为F(n)/2^n 。 上面有个假设，即认为F(n)的值只与n有关，而跟n个点的具体位置无关。
这个是可以证明的（忽略两点重合，三点共大圆的零概率情况）。而且，还可以证明，F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于n^2-n+2。 于是所求概率等于 (n^2-n+2)/2^n 。
由于本题目是4个点，按照此公式得出的概率是14/16=7/8。 。
我感觉应该是1/4，虽然还不能完全证明，但似乎并不像想像的那么简单。
首先三个点肯定共半球，如果三个点连接成的面过球心，那么任意选取第四个点，这四个点肯定共半球；我们先分析任意三个点与第四个点不共半球的情况，连接已知三个点切分出一小球冠，唯一存在与这三个点不共面的第四个点的分布区域只能在位于与该小球冠对称的小球冠范围（即通过该小球冠底面圆周作垂直该平面的圆柱切割对半球形成的曲面），共半球的概率就为该曲面面积与球体表面积的比值。所以最终概率取决于三点的分布位置，也就是三点切割球体形成球冠的底面积的大小，设球体半径为R，三点切割球体形成球冠的底圆半径为r，πr^2/4πR^2就是概率大小，0≤r≤R，下面应该是积分问题，不好意思，多年没有运用已经忘了，留请高手解决。
1/2。 理由很简单：排除有某些点重合或居直径两端的零概率事件情况。 在取定的四点A、B、C、D中，取两点A、B， 过A、B两点有唯一的一个大圆，把球面分成P、Q两个半球， C∈P，C∈Q是等可能的；D∈P，D∈Q也是等可能的。 C，D∈P的概率是1/4，C，D∈Q的概率也是1/4。 ==================================================== 楼下解答很有启发，看来得积分计算。我的答案1/4似乎得积分验证，可能错了。
