解:左=[3(2a+b)]^2,为完全平方数。
右=509(4a+511b)也应该是完全平方数。
经检验,509是质数,(分别除以质数3,7,11,13,17,19,23,都除不尽),
4a+511b=509*另一个完全平方数。
记另一个完全平方数=m^2。
[3(2a+b)]^2=509(4a+511b)=(509m)^2=509*509*m^2。
得(1): 3(2a+b)=509m,
(2): 4a+511b=509*m^2。
由(1): 509是质数,m是3的倍数。记m=3k,代入(1),(2):
得(3): 2a+b=509k 。
得(4): 4a+511b=509*9k^2。 由(3) 、(4),得
2a=511k-9k^2=k(511-9k)。
。。。。。。。。。(5)
a为质数,2a只有2a=1*2*a一种表达,所以,k有以下三种可能:k=1,k=2,k=a。
第一种可能:k=1,2a=511-9=502,a=251。
经检验,251是为质数。满足。b=509k-2a=509-251*2=509-502=7。
第二种可能:k=2,2a=511k-9k^2=511*2-36=986,a=493=29*17,
合数不符合。
第三种可能:k=a,2=511-9k=511-9a, a=(511-2)/9=509/9,非整数,不符合。
只有第一种符合,即 a=251,b=7。
OK!
。
问：初等数论是否存在连续的1999个正整数，使得其中只有一个数是质数？
答：我给你估计一下,你要的质数在什么范围内. 设小于等于n的质数的个数为π(n),如:π(2)=1,π(3)=π(4)=2,.. 定理:2≤n,则π(n)≤12n/...详情>>
答：详情>>
