微分方程应用题数学
设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点,已知凸弧与弦AP之间的面积为x^3,求此凸弧的方程。 答案提了梯形的面积:x/2{1+f(x)},不知道梯形为什么这么表达啊
题目意思有两种不同理解有争议,如果凸弧专指上凸弧,则如以下的(1),如果凸弧指上凸弧和下凸弧,则如以下的(1)(2),不同的教材说法不同,楼主自行斟酌 令y=f(x),0≤x≤1,要求凸弧故f''(x)恒正或恒负 梯形下底OA=1,上底PH=f(x),高为OH=x,梯形面积S1=x/2[1+f(x)] 则凸弧与PH、OH、OA间的面积S2=∫f(t)dt 由题意有 ∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]=x^3或∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]=-x^3 (1)凸弧上凸,∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]=x^3 两边微分,f(x)-1/2[f(x)+1+xf'(x)]=3x^2 f'-(1/x)f=-6x-1/x 按公式或先求齐次再常数变易法求得通解 f(x)=-6x^2+1+cx 初始条件f(1)=0,-6+1+c=0,得c=5,凸弧为f(x)=-6x^2+5x+1 (2)凸弧下凸,∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]=-x^3 两边微分,f(x)-1/2[ f(x)+1+xf'(x)]=-3x^2 f'-(1/x)f=6x-1/x f(x)=6x^2+1+cx 初始条件f(1)=0,6+1+c=0,得c=-7,凸弧为f(x)=6x^2-7x+1 综上所述,所求凸弧有两条,分别为 f(x)=-6x^2+5x+1和f(x)=6x^2-7x+1。
我的解答不见了,幸亏可以不断地发,就耐心地发吧! 梯形是直角梯形,上底为f(x),下底为1,高为x,所以面积为[1+f(x)]*(x/2)。
微分。。。好早就忘记了
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