x(t)*h(t)这个运算叫”希尔伯特变换"。如果把h(t)看成一个系统，把x(t)看成系统输入，把x(t)*h(t)看成输出，则此系统的功能是把x(t)相位延后90度，即cos(w0t-π/2)=sin(w0t)。你可以百度百科一下。
如果仅从数学上来看，可以这样计算：
先求傅里叶变换：
这里的x(t)和h(t)都不是绝对可积的，都不能用定义式直接计算，只能用广义函数法计算，出发点是F{e^{jw0t}}=2πδ(w-w0)以及频域积分定理。
F{cosw0t}=1/2F{e^{jw0t}+e^{-jw0t}}=πδ(w-w0)+πδ(w+w0)。
由于F{1}=2πδ(w)，由频域导数定理，频域积分对应时域除-jt，故F{1/-jt}=πsgn(w)，即F{1/πt}=-jsgn(w)。
再乘积：
F{x(t)*h(t)}=-jπδ(w-w0)+jπδ(w+w0)，即x的正频率乘-j，负频率乘j。这刚好对应相位延后90度。
最后傅里叶反变换：
F{sinw0t}=-j/2F{e^{jw0t}-e^{-jw0t}}=-jπδ(w-w0)+jπδ(w+w0)。
故x(t)*h(t)=sin(w0t)。
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