已知椭圆经过点,两焦点为,,短轴的一个端点为,且.求椭圆的方程;直线恒过点,且交...
已知椭圆经过点,两焦点为,,短轴的一个端点为,且.
求椭圆的方程;
直线恒过点,且交椭圆于,两点,证明:以为直径的圆恒过定点.
由题意知为等腰直角三角形,且,得,由此能求出椭圆方程。
当直线与轴垂直时,以为直径的圆过点。当直线不垂直于轴时,设直线,由,得:,由,知以为直径的圆恒过定点,由此能够证明以为直径的圆恒过定点。
解:由题意知为等腰直角三角形,且,
,
,
椭圆过点,代入方程,得,
,故所求椭圆方程为。
当直线与轴垂直时,以为直径的圆的方程为,
此圆显然过点。
当直线不垂直于轴时,设直线,
由,消去,得:,
设点,,
则,
,,
,
,即以为直径的圆恒过定点,
综上所述,以为直径的圆恒过定点。
本题考查椭圆方程的求法,考要直线和椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意韦达定理,向量垂直等知识点的合理运用。
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