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2018-10-09 01:29:26

•   古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
     那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀： 三人同行七十（70）稀， 五树梅花廿一（21）枝， 七子团圆正月半（15）， 除百零五（105）便得知。 歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。
    即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23 《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。
    秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 原题好象是“三角几何共计九角三角三角几何几何”。。
  〈〈三角〉〉、〈〈几何〉〉共计九角，〈〈三角〉〉三角，〈〈几何〉〉几何？答案是〈〈几何〉〉为六角【遗产分配问题】（罗马）有一位寡妇要把前夫的遗产3500元与自己的子女拆分。
    根据当时的法律规定，如果只有一个儿子，母亲可得到儿子应得部分的一半；如果只有一个女儿，母亲可得到相当于女儿2倍的遗产。可她生的是孪生儿女，有男孩也有女孩，根据当时的法律，应当怎样分这笔遗产呢？
  【解答】设母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为X、Y、Z，依题意有
  X＋Y＋Z=3500 ①
  X=1/2Y ②
  X=2Z ③
  由②得Y=2X④，由③得Z=1/2X⑤，将④⑤代入①得，X=1000，代入④得，Y=2000，代入⑤得，Z=500。
    因此，母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为1000元，2000元，500元。
  【圣诞火鸡问题】(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日。圣诞节前，约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡。这些火鸡重量相差无几，因此就论只来卖。
    其中约翰有10只，彼得有16只，罗伯有26只。早上三人卖价相同。中午饭后，由于三人都没卖完，又要赶在天黑前回家，只好降价出售，但三人的卖价仍然相同。黄昏时，他们的火鸡全部卖完。当清点钱时，他们惊奇地发现每个人都得到56英镑。想想看，为什么？他们上、下午的售价各是多少？每人上、下午各售出多少只火鸡？
  【解答】若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡。
    又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑。由题意可得如下方程组：
  ax＋b（10－x）=56 ①
  ay＋b（16－y）=56 ②
  az＋b（26－z）=56 ③
  这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组。
    
  ①－③得（x－z）（a－b）=16b， ④
  ②－③得（y－z）（a－b）=10b， ⑤
  ④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5，即5x＋3z=8y。⑥
  由题目条件知，0＜x＜10，0＜y＜16，0＜z＜26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2。
    因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑。约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡。
  
  孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
  他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
  庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
    
  孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
  庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
  
  因庞涓肯定两数不会都是质数，所以两数和不会是偶数，否则由小数的Goldbach猜想，小偶数必能分成两奇质数之和，庞涓便不能确定孙膑不知答案了。
    所以两数和应是奇数。此外，这两数也不会是2及一个奇质数。
  孙膑从庞涓的说话，可知道两数一奇一偶。孙膑所知道的两数积，应为2^a。b的形式，其中a>0，b是奇数。如b可分解成b=cd，c>1，d>1，则答案可能是(2^a,b)，(2^a。
    c,d)或(2^a。d,c)，便仍未知答案，故此b为质数。但由上面庞涓的说话，a>1。
  庞涓从孙膑的说话后，若两数和表示成2^a b的形式是唯一，便也能得知答案。
  以上推理其实并不全面，但已能得到多于一组答案。
    例子如下:
  (4,13)
  庞涓知x y=17，x及y不能都是质数。
  孙膑知xy=52，未听庞涓说话前，(x,y)可能是(2,26)，(4,13)。但现在知一奇一偶，只能是(4,13)。
    
  庞涓知(x,y)不会是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3]，不会是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3]，不会是(8,9)[因72=8*9=24*3]，不会是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5]，不会是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3]，不会是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3]，只有(4,13)孙膑才肯定知答案。
    
  但还有其它可能，如
  (16,13) 庞涓知29，孙膑知208
  (4,37) 庞涓知41，孙膑知148
  (16,37) 庞涓知53，孙膑知592
  (16,43) 庞涓知59，孙膑知688 中国古代方程趣题——百鸡问题 公元5世纪末，我国数学家张丘建在他所著的《算经》里提出了一个著名的不定方程问题——“百鸡问题”。
    
  今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？补充 - 2006-07-03 17:53:10 这个问题可通俗地叙述为：公鸡一只值五文钱，母鸡一只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在买了这三种鸡共100只，恰好用了一百文钱，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。
    ”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了。”两个牧童各有多少只羊？泪、倾城。 回答 设 甲有X只,则乙有X-2只X 1=2*(X-2-1)X 1=2X-6。

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