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2012-03-07 18:05:10

• 1.提示:令x^(1/6)=t

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  u***

  2012-03-07 18:05:10

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2012-03-07 18:04:05

• 详细解答见附图，如不清晰请点击

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  d***

  2012-03-07 18:04:05

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2012-03-07 17:09:21

•   1。
  令x^(1/6)=t，则：x=t^6，dx=(6t^5)dt
  且，x^(1/3)=t^2，x^(1/2)=t^3
  原式=∫[t^2/t^6*(t^3+t^2)]*(6t^5)dt
  =6∫[t^7/t^8*(t+1)]dt
  =6∫dt/[t*(t+1)]
  =6*∫[(1/t)-(1/t+1)]dt
  =6ln|t/(t+1)|+C
  =6ln|x^(1/6)/[1+x^(1/6)]|+C。
    
  2。
  令arccosx=t，则x=cost，dx=d(cost)=-sintdt
  原式=∫[(cost)^3*t/sint]*(-sint)dt
  =-∫(cost)^3*tdt
  =-∫cost*(cos^2 t)*tdt
  =-∫cost*(1-sin^2 t)*tdt
  =∫(sin^2 t-1)*td(sint)
  =∫t*sin^2 td(sint)-∫td(sint)
  =(1/3)∫td(sin^3 t)-(tsint-∫sintdt)
  =(1/3)[t*sin^3 t-∫sin^3 tdt]-(tsint+cost)
  =(1/3)t*sin^3 t-(1/3)∫sint*(sin^2 t)dt-tsint-cost
  =(1/3)t*sin^3 t-(1/3)∫sint*(1-cos^2 t)dt-tsint-cost
  =(1/3)t*sin^3 t+(1/3)∫(1-cos^2 t)d(cost)-tsint-cost
  =(1/3)t*sin^3 t+(1/3)cost-(1/9)cos^3 t-tsint-cost+C
  =(1/3)arccosx*(√1-x^2)^3-(2x/3)-(x^3/9)-arccosx*√(1-x^2)+C。
    
  3。
    
  原式=∫(sinxdx)/[sin^2 x*(cosx+2)]
  =-∫d(cosx)/[(1-cos^2 x)*(cosx+2)]
  =∫d(cosx)/[(cos^2 x-1)*(cosx+2)]
  =∫d(cosx)/[(cosx+1)*(cosx-1)*(cosx+2)]
  令1/[(t+1)*(t-1)*(t+2)]=A/(t+1)+B/(t-1)+C/(t+2)
  =[A*(t-1)(t+2)+B(t+1)(t+2)+C(t+1)(t-1)]/[(t+1)(t-1)(t+2)]
  =[A(t^2+t-2)+B(t^2+3t+2)+C(t^2-1)]/[(t+1)(t-1)(t+2)]
  =[(A+B+C)t^2+(A+3B)t+(-2A+2B-C)]/[(t+1)(t-1)(t+2)]
  所以：
  A+B+C=0
  A+3B=0
  -2A+2B-C=1
  解得：A=-1/2，B=1/6，C=1/3
  所以，原积分=(-1/2)∫dt/(t+1)+(1/6)∫dt/(t-1)+(1/3)∫dt/(t+2)
  =(-1/2)ln|t+1|+(1/6)ln|t-1|+(1/3)ln|t+2|+C
  =(-1/2)ln|cosx+1|+(1/6)ln|cosx-1|+(1/3)ln|cosx+2|+C。

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  T***

  2012-03-07 17:09:21

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