其他答案

2011-12-08 16:34:51

•   (1):
  f(0)=0-0+c=c,  f(1)=1-1+c=c
  故f(0)=f(1)
  (2):
  |f(x2)-f(x1)|=|x2^3-x2-x1^3+x1|=|x2-x1||x1^2+x2^2+x1x2-1|
  因x1,x2∈[0,1],且x1≠x2，则：
  0  

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  2***

  2011-12-08 16:34:51

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2011-12-08 15:53:02

• (1)f(0)=c
  f(1)=c
  所以f(0)=f(1) 
  (2)要证|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1| 
  只要证|f(x2)-f(x1)|/|x2-x1|<2
  即|f'(x)|<2
  求导可知f'(x)=3x^2-1
  计算可知1<|f'(x)|<2
  得证
  (3)要证|f(x2)-f(x1)|<1 
  只要证|f(x2)-f(x1)|=|x2-x1|*|x2^2+x1^2+x1x2-1|<1
  显然|x2-x1|<=1
  故只要证|x2^2+x1^2+x1x2-1|<1
   
  

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  2***

  2011-12-08 15:53:02

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2011-12-08 15:47:39

• 第一题，很显然，只要把0，1代到f(x)验证即可，即可得f(0)=f(1)=c;
  第二题：对f(x)求导可得f'(x)=3x^2-1，而导数的几何意义就是每一点上的切线斜率，因此考察这个切线斜率的取值范围。在[0,1]上这个切线斜率的取值范围为[-1,2]（即f'(x)的取值范围），而
  ( f(x2)-f(x1) )/( x2-x1 ) 表示的是平面上连接任意两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))的直线的斜率而这两个点必在曲线f(x)上,因此|f'(x)|=0 in the inteval[0,1],所以f(x)的形状是开口向上的下凸形状，而这个曲线的最低点是以 1/(sqrt(3))为横坐标的点。（这个值是令f'(x)=0后求得的。）因此|f(x2)-f(x1)|<|f(c)-f(1/sqrt(3))|<1，证毕！

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  亢***

  2011-12-08 15:47:39

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