已知二次函数y=f(x)=x^2+ax+b,A={x|f(x)=x,x∈R},B={x|f(f(x)
(1) 证明A包含B.
(2) 若A={-1,3}时.求B.
(3) 若A只含一个元素,证A=B.
(1)
对于A中每一个x值都有：
f(x)=x 则：
x^2+ax+b=x 则：
(f(x))^2+af(x)+b=x 则：
f(f(x))=x
即A中每一个元素x值都能成为B的元素，故A包含于B
(2)
对于A：
f(x)=x
x^2+ax+b=x
x^2+(a-1)x+b=0
因x1=-1,x2=3,则由韦达定理：-(a-1)=-1+3，b=-1*3
故：a=-1, b=-3
f(x)=x^2-x-3
则对于B：
f(f(x))=x
(f(x))^2-f(x)-3=x
(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x
x^4-2x^2*(x+3)+(x+3)^2-x^2=0
x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0
(x^4-6x^2+9)-(2x^3-6x)=0
(x^2-3)^2-2x(x^2-3)=0
(x^2-3)(x^2-2x-3)=0
(x-sqrt(3))(x+sqrt(3))(x-3)(x+1)=0
即x=sqrt(3);-sqrt(3);3;-1
即B{-sqrt(3),-1,sqrt(3),3}
(3)
对于A有: x^2+(a-1)x+b=0 若A只含一个元素，则：
判别式：(a-1)^2-4b=0 b=(a-1)^2/4 且x=(1-a)/2
即A{(1-a)/2}
f(x)=x^2+ax+(a-1)^2/4=(x+(a-1)/2)^2+x
则对于B：f(f(x))=x
(f(x)+(a-1)/2)^2+f(x)=x
((x+(a-1)/2)^2+x+(a-1)/2)^2+(x+(a-1)/2)^2=0
(x+(a-1)/2)^2((x+(a-1)/2+1)^2+1)=0
因(x+(a-1)/2+1)^2+1>=1
故方程的解只有x=(1-a)/2
即B{(1-a)/2}
故A=B
。
答：(1)证明:任取x∈A, 则x=f(x),从而x=f[f(x)]. ∴x∈B,即A为B的子集. (2)∵A={-1,3},∴-1=f(-1),3=f(3),即 ...详情>>
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