解答：
　　题目很有意思。我以前对此类问题仔细分析过，但您的问题更复杂。我不太清楚您出此题的目的，1）想在数学理论上探讨如何推导出正确的计算方法？2）就想得到一种正确的计算方法以便在实际应用中估计（用计算公式在计算过程中也可能产生误差）数学期望大小？
　　在这里我只能按2）理解给出解答（供您参考）：
1。
   n->∞时的Sn等于7。5
收敛级数一般计算方法：
a）采用软件计算，如Maple、MatLab、Mathematica没有的话也可用office中的Excel计算（我已用软件验证这个级数=7。5）。
b）根据级数意义计算，或将级数化为已知值的级数（如这个级数正好是某数学期望，而此数学期望可以简单方法算出，则这个级数等于此数学期望），关于这点在3。
  中有说明。
2。（无代表多球情况）更一般的计算如下：
n个球中，红球有a1个，绿球有a2个，黄球有a3个，蓝球有a4个，黑球有a5个，…,白球有am个。(a1+a2+。。。+am≤n)，从箱子里随机拿一个球，记录颜色后放回去。上述m种颜色球都被抽到的抽球的数量的期望E(m)计算公式为
E(m)=∑1/pi-∑1/(pi+pj)+∑1/(pi+pj+pk)-…-(-1)^m∑1/(p1+p2+…+pm)
其中pi=ai/n（i=1,2,3,…,m），∑是对不相同的(i,j,…k…m)组合求和
当m=6时，E(6)=[1/p1+1/p2+…+1/p6(共6项)]-[1/(p1+p2)+1/(p1+p3)+…+1/(p5+p6)(共15项)]+[1/(p1+p2+p3)+1/(p1+p2+p4)+…+1/(p4+p5+p6) (共20项)]-[1/(p1+p2+p3+p4)+1/(p1+p2+p3+p5)+…+1/(p3+p4+p5+p6) (共15项)]+[1/(p1+p2+p3+p4+p5)+1/(p1+p2+p3+p4+p6)+…+1/(p2+p3+p4+p5+p6) (共6项)]-[1/(p1+p2+p3+p4+p5+p6)]
对于一球代表多球情况，可根据数学期望的定义得出对应的级数，再求出这级数的值就是所求的期望值。
  您给出的一球代表多球情况较复杂，在3。中给出简单一球代表多球对应级数方法，您可以按此推广到复杂情况。
3。此类问题的基本级数是
∑a/n*[(n-a)/n]^(k-1)*k　(k=1,2,3,…,∞)
模型为: n个球中，红球有a个。(a≤n)，从箱子里随机拿一个球，记录颜色后放回去。
  红球被抽到的抽球的数量的期望
这是因为恰好k次抽到红球情况有a*(n-a)^(k-1)种，发生概率为a*(n-a)^(k-1)/n^k=a/n*[(n-a)/n)^(k-1),再根据数学期望的定义，红球被抽到的抽球的数量的期望=∑a/n*[(n-a)/n]^(k-1)*k　(k=1,2,3,…,∞)，显然此数学期望=n/a
所以,基本公式是 ∑a/n*[(n-a)/n]^(k-1)*k=n/a　(k=1,2,3,…,∞)
1。
  中给出的级数=∑2/5*[(4/5)^(k-1)-(3/5)^(k-1)]*k
=2∑1/5*((5-1)/5)^(k-1)*k-∑2/5*((5-2)/5)^(k-1)*k
=2*5/1-5/2
=7。5
对于一般的级数不一定有收集卡片/抽球的等价模型（就是有一般情况下也很难找到，举个不太适当的例子：当x=0时，很容易得到x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6=6,但x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6=0时，就很难找到x=？），反过来收集卡片/抽球的等价模型一定有级数对应。
  
例1）4个球，一红 一绿 一白 一其他，抽到白相当於抽到红和绿，现在要求抽到红和绿的期望。
所求期望E=∑{2/4*[(2/4)^(k-1)-(1/4)^(k-1)]（最后抽到红或绿）+1/4*[2*(2/4)^(k-1)-(1/4)^(k-1)（最后抽到白）]}*k　(k=1,2,3,…,∞)
=∑[2/4*((4-2)/4)^(k-1)-2/3*3/4((4-3)/4)^(k-1)]*k
+∑[2/4*((4-2)/4)^(k-1)-1/3*3/4((4-3)/4)^(k-1)]*k
=4/2-2/3*4/3+4/2-1/3*4/3
=8/3
例2）4个球，一红 一绿 一白 一蓝，现在要求抽到红和绿或者抽到白或蓝的期望。
  
所求期望E=∑1/4^k*[2*(2^(k-1)-1)-1]*4*k 　(注k=2,3,…,∞)
={∑1/4^k*[2*(2^(k-1)-1)-1]*4*k}-(-1) 　(注k=1,2,3,…,∞)
={∑[1/4^k*[2*(2^(k-1)-3)*4]*k}+1
=4*{∑[2/4*((4-2)/4)^(k-1)-3/4*((4-3)/4)^(k-1)]*k}+1
=4*(4/2-4/3)+1
=11/3
。