数学中充分条件的定理
数学中充分条件的定理 如：若limf(x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x)+g(x)]=A+B 以上面这个定理为例，说说我的想法； 这是一条充分条件的定理； 充分条件的定理的特点是：如果条件limf(x)=A,limg(x)=B不满足时（即极限不存在时），结论lim[f(x)+g(x)]极限也有可能存在； 这样不就不完美了嘛；万一碰到limf(x),limg(x)这两个极限不存在时，我就无法用上面的定理判断lim[f(x)+g(x)]存在与否；只能转向用极限定义，去求lim[f(x)+g(x)]；这样多不方便呀； 不如，我把limf(x)和limg(x)不存在时，再加个啥条件，进而lim[f(x)+g(x)]也成存在的定理也给出来，也给出这样的“定理”，不就方便了嘛； 碰到任何limf(x)和limg(x)的情况，我都有相应的定理能用，从而能轻松判断lim[f(x)+g(x)]的存在与否，这样不是很完美嘛； 为啥书上不这么做呢，而是只给出上面这一条定理？
万一碰到limf(x),limg(x)这两个极限不存在时，我就无法用上面的定理判断lim[f(x)+g(x)]存在与否；只能转向用极限定义，去求lim[f(x)+g(x)]；这样多不方便呀； ---------------- 你提到了“极限定义”。
--------- 碰到任何limf(x)和limg(x)的情况，我都有相应的定理能用，从而能轻松判断lim[f(x)+g(x)]的存在与否，这样不是很完美嘛； ------------ 你说的差不多是lim[f(x)+g(x)]存在的充要条件。
考虑一下这个条件。 先检查一下手头有什么东西： （1）两个纯形式的（纯概念的）函数f(x)，g(x)，就是说，只知道f(x)，g(x)是函数，并且有部分共同的定义域，此外没有其他关于f(x)，g(x)的信息。 （2）按定义对lim[f(x)+g(x)]存在的描述。
将以上两组条件记为Q。 假设P是一组条件关系，并且P与Q之间是充要条件关系，即P与Q等价，那么，P的内涵就不会多于Q，也就是说，P的演绎能力不会强于Q。因为P与Q等价，所以，可以认为P是由Q经过变形演绎得到的。因而，可以考虑Q能够演绎出什么样的等价形式。
从数理逻辑的角度看，在公理集合论的框架下，Q能够演绎出的等价形式当然是很多的，但从数学的角度看，这些形式的内涵与Q一样，并且形式上必定会比Q复杂，理解起来更绕。比如，在高教版，数学分析，第一卷，第4版，卓里奇著，第112,113页，提到了函数极限的基定义，尽管基定义比原来的定义层次要高，但在具体操作中，两种定义必定是等价的，因为两者说的是同一个东西。
因为Q不涉及f(x)，g(x)的具体形式，所以Q的等价形式也不会涉及f(x)，g(x)的具体形式,除非能够列举或者归纳f(x)，g(x)的具体形式，但目前好像还没有一种方法或体系能做到这一点。一个不涉及f(x)，g(x)的具体形式的推理却要适用于一切f(x)，g(x)的具体形式，那么可以从关于f(x)，g(x)的最抽象的层次上，即定义的内涵层次上来推理。
从外延方面，如前所说，如果limf(x)和limg(x)可以列举或归纳为若干情况（可以是无穷多种情况），并且有某种方法对这若干情况作分析得到Q的等价形式，当然也是可以的方式。但显然，这个方式不像是可行的方式。 。
你的想法很好。但是你提出了一个大课题，也就是把一些只给出充分条件的定理改成充分必要条件的定理，这是一个很艰巨的工作。 一方面，就如上面“johnslm”说的：“如果一个定理前提条件太多，人们只背条件结论”，要花费很多时间和精力，再说如果每一道题都要给出很多限制条件，那也太没意思了，会束缚人们的思维。如果条件太多已经失去其作为定理的优势，可能有时还不如你说的“回到定义来”那么容易。 另一方面，有些定理从“充分条件”转到“充分必要条件”还没有完成，还有很多数学家在做这方面的工作，你不要指望教科书会全部给出。你也可以试一试。
不如，我把limf(x)和limg(x)不存在时，再加个啥条件，进而lim[f(x)+g(x)]也成存在的定理也给出来，也给出这样的“定理”，不就方便了嘛； 如果这样的条件很复杂那怎么办？ 定理就该简洁明了易用。 如果一个定理前提条件太多，人们只背条件结论，怕会降低我们的智商吧。而且定理太多也容易搞混，搞混了又得再证一遍才敢用，这和没这个定理一样。除非你十分地博闻强识了，（当然也可以搞本小册子随身带）。 数学强调的是思维，而不是记忆。所谓的定理不过是已证的结论，别人能证，我也能证。我觉得学数学(不单单应付考试）就要有这种意识。条件繁琐的定理记都记不住，不如弃之不用。
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