b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab）
=b^4/(a^2*b+b^2*c)+c^4/(b^2*c+c^2*a)+a^4/(c^2*a+a^2*b)
≥(a^2+b^2+c^2)^2/[(a^2*b+b^2*c)+(b^2*c+c^2*a)+(c^2*a+a^2*b)]
只需证明:(a^2+b^2+c^2)^2≥
[(a^2*b+b^2*c)+(b^2*c+c^2*a)+(c^2*a+a^2*b)]*(a+b+c)/2
a^4+b^4+c^4+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2≥
a^3*b+b^3*c+c^3*a+a^2*bc+b^2*ca+c^2*ab （*）
由排序不等式易证：（1),a^4+b^4+c^4≥a^3*b+b^3*c+c^3*a
(2),(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2≥ab*ac+bc*ba+ca*cb
=a^2*bc+b^2*ca+c^2*ab
(1)+(2)=>(*)
∴原命题成立
。
题目应该改改，应该是(a+b+c)/2才好 由柯西不等式有： b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab)≥(a^2+b^2+c^2)^2/(b(a^2+bc)+c(b^2+ca)+a(c^2+ab)) 于是只需要证明:(a^2+b^2+c^2)^2/(b(a^2+bc)+c(b^2+ca)+a(c^2+ab))>=(a+b+c)/2 由对称性不妨设a=max(a,b,c) 可以是如下分拆 (2a^2+(b+c)a+(b-c)^2+2b^2+2c^2)(a-b)(a-c)+2(b-c)^2(b^2+c^2+ab+ac)>=0
答：这是一道灰常简单的题目，证法很多，但作差法和综合法都不是最简洁的， 下面再举两法： (1) 依均值不等式得(属综合法) (a^2/b)+b≥2a， 同理可得 (...详情>>
答：详情>>
