（常规解法，感觉也有些凑巧）
An=n*[A(n-1)+A(n-2)]
An-(n+1)*A(n-1)=-A(n-1)+nA(n-2)
记Cn=An-(n+1)*A(n-1)是一个公比为-1的等比数列
Cn=C(2)*(-1)^(n-2)=(-1)^(n-1)
于是An-(n+1)*A(n-1)=(-1)^(n-1)
也即An=(n+1)*A(n-1)+(-1)^(n-1)
A(1)=2A(0)+1,则A(0)=0
考虑G(x)=A(0)+A(1)*x+A(2)*x^2/2!+A(3)*x^3/3!+……
x:A(1)=2A(0)+(-1)^0
x^2/2:A(2)=3A(1)+(-1)^1
x^3/3!:A(3)=4A(2)+(-1)^2
……
+)
得到：
A(1)*x+A(2)*x^2/2!+A(3)*x^3/3!+……
=2A(0)*x+3A(1)*x^2/2+4A(2)*x^3/3!+……
+1-e^(-x)
而因为A(0)=0,
则A(1)*x+A(2)*x^2/2!+A(3)*x^3/3!+……=G(x)
2A(0)*x+3A(1)*x^2/2+4A(2)*x^3/3!+……
=d[x∫G(t)dt]/dx
于是G(x)=∫G(t)dt+xG(x)+1-e^(-x)
两边对x再求一次导数得：
G'(x)=2G(x)=x*G'(x)+e^(-x)
也即：G'(x)=[2/(1-x)]*G(x)+e^(-x)/(1-x)，又G(0)=0
用常数变易公式求得:
G(x)=x*e^(-x)/[(1-x)^2]
将其泰勒展开就可以得到第n此项系数
也就是An/n!
我们来具体算一下：
e^(-x)=∑[(-1)^n*x^n/n!]
1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+……
所以x/(1-x)^2=x+2x^2+3x^3+4x^4+……
写成级数形式为：
x/(1-x)^2=∑[(n+1)*x^(n+1)]
据柯西乘积有：G(x)泰勒展式(迈克劳林公式)的第n项系数是：
∑(-1)^j*(i+1)/j!
其中i+j+1=n,i,j≥0
于是我们替换掉j有：
∑(-1)^(n-i-1)*(i+1)/(n-i-1)!
其中i从0一直取到n-1
于是An=n!*∑(-1)^(n-i-1)*(i+1)/(n-i-1)!
其中i从0一直取到n-1
。