关于二次函数
已知二次函数y=x^2-2x-1的图像的顶点为A，二次函数y=ax^2+bx的图像与X轴交于原点O和点C，它的顶点B在函数y=x^2-2x-1的图像的对称轴上。 （1）求点a与点c的坐标； （2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax^2+bx的关系式.
已知二次函数y=x^2-2x-1的图像的顶点为A，二次函数y=ax^2+bx的图像与X轴交于原点O和点C，它的顶点B在函数y=x^2-2x-1的图像的对称轴上。 （1）求点a与点c的坐标； y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2 所以，其顶点为A(1，-2) y=ax^2+bx=x(ax+b)，它与x轴的交点即y=0时x=0，或者x=-b/a 则点C(-b/a,0)…………………………………………………………（1） 又，其顶点B为x=-b/(2a)，y=-b^2/(4a) 即，B(-b/(2a),-b^2/(4a)) 已知点B在y=x^2-2x-1的对称轴x=1上，那么：-b/(2a)=1 所以，-b/a=2…………………………………………………………（2） 那么，代入(1)就有，点C(2,0) 综上：A(1，-2)，C(2,0) （2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax^2+bx的关系式。
由前面知，点A(1，-2)，O(0,0)，B(1,-b^2/(4a))，C(2,0) 很显然AB⊥OC，且O、C两点关于AB对称 所以，当四边形AOBC为菱形时，OB=OA 即，OC为AB的垂直平分线 所以，A、B两点关于OC（即x轴）对称 所以，B点纵坐标为-b^2/(4a)=2 ===> b^2=-8a…………………………………………………………（3） 由(2)得到：b=-2a，代入(3)有：4a^2=-8a ===> 4a^2+8a=0 ===> 4a(a+2)=0 ===> a=0（舍去，此时就不是二次函数），a=-2 所以，b=-2a=4 所以，函数解析式为：y=-2x^2+4x。
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