假如圆和长方形边可以相交 n个圆两两相交,可以把平面分成n^2-n+2部分, 不考虑圆外部分，那么共有n^2-n+1个部分 假设n个圆是等圆,圆心在同一直线上(n>1) 那么其中2n-2个月牙形状的部分,中间有一个橄榄形的 现在我们把一个长方形放上去,使得其中一组对边与这一系列圆相切 另一组对边与每个圆都分别相交 那么在相切的一边上就有n个切点,两边共增加2(n+1)部分 另一组对边把所有月牙形的部分分成两部分，增加2(n-1)部分 所以总共是: s(n)=n^2-n+1+2(n+1)+2(n-1)=n^2+3n+1 s(10)=131 10个圆可以把长方形分成131个部分 是不是最多?不知道如何证明 --------------------------------------------------------- 【补充说明】 (1)n个圆两两相交有2C(2,n)=n(n-1)个交点 (2)每个圆上有2(n-1)个交点,被分成了2(n-1)段弧,总计2n(n-1)段 (3)为使长方形被分成最多块,每条边都与n个圆相交于两点 且:(1)的所有交点都处于长方形内部 (4)长方形每条边上都有2n个交点,被分成2n+1条线段 共8n个交点,以及8n+4条线段 (5)每个圆处于长方形外的部分弧,根据(3)它们之间无交点 每段弧都被长方形截去一部分,每个圆在长方形四边外都如此 所以弧数增加4n段 (6)长方形原有4个顶点 (7) 把这个平面看成是一个以长方形为底面的多面体被压扁到长方形平面内形成的 顶点数v:n(n-1)+8n+4=n^2+7n+4 总边数e:2n(n-1)+8n+4+4n=2n^2+10n+4 由欧拉公式面数f=e-v+2=n^2+3n+2 由于底面其实不存在,所以总的块数是f-1 即:n^2+3n+1 由此看来131应该是最大的了 〖从这里也可以看到长方形的边与圆相切还是相交是不影响结果的,因为一个圆与一条边相交变为相切e和v都减少1〗 --------------------------------------------------------- 附图以n=3为例进行说明 原来共有n^2-3+1=7部分 有2n-2=4个月牙形(上下各2个) 每个月牙都被长方形分成2部分,增加4部分 一边上有3个切点,这组对边与圆之间有2(n+1)=8部分 所以共有:7+4+8=19部分 【是否等圆、圆心是否在一直线上,以及相切还是相交没有实质差别，只是为了画图方便美观，叙述方便】 。
如果将问题改为“n个等园(直径d)可将一个长方形(长a>宽b>或=nd)最多可划分为几个部分？其中等园只能在长方形的内部并且不能与其边相交或相切。”那么《山路水桥》的方法就是正确的！通过他画的图，还可得到一个简单的解法如下:1+1+2+4+6+8+....+2(n-1)=2+{[2+(n-1)/2)]*(n-1)}=2+n(n-1)=n^2-n+2,这与他的结果完全相同。【如果不限制条件，几乎是无法解决的！如果补充，限制或者改变条件，会得到更多有趣的问题。读者不妨一试。在此，欢迎大家到我的爱问提问题。谢谢！】
上面几个回答者的回答都有误,请注意每个圆都可能与长方形的某些边相交。
【可以用数学归纳法证明】n个圆最多能把一个长方形分成A(n)=n^2-n+2部分。 【初始验证】当n=1时，A(1)=2，符合上述结论； 【通式假定】设当n=k时，上述结论正确，即k个圆最多能把一个长方形分成A(k)=k^2-k+2部分。 【渐进递推】第k+1个圆最多能和前k个圆有2k个交点，这2k个交点，将原来的分割又增加了2k个部分，即 A(k+1)=A(k)+2k=(k^2-k+2)+2k=(k+1)^2-(k+1)+2 当n=k+1时，上述结论也正确。 按题意n=10，A(10)=10^2-10+2=92。即10个圆最多能把一个长方形分成92部分。 画两个特例给你看看：A(3)=8，A(4)=14。
1)1+1=2 2)1+1+2=4 3)1+1+2+3=7 4)1+1+2+3+4=11 …… 10)1+1+2+3+……+9+10=56 10个圆最多能把一个长方形分成56部分.
答：解: (1)先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相...详情>>
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