数学,急!!!!
如何简单比较n的(n+1)次方和(n+1)的n次方 哪个大?请详细写出过程和规律,thanks
【1】最简单的方法【利用导数】 设 f(x)=(lnx)/x,则 f'(x)=(1-lnx)/x^2, 当 0<x<e 时,f'(x)>0,f(x)单调增加; 当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调减少。 即 a<b<e 时, (lna)/a<(lnb)/b→b(lna)<a(lnb)→a^b<b^a; 而 e<a<b<e 时, (lna)/a>(lnb)/b→b(lna)>a(lnb)→a^b>b^a。
所以,根据单调性: ①n<n+1<e,即 n=1 时,肯定有 1^2<2^1; ②n=2时,只能尝试出 2^3<3^2; ③n≥3时,e<n<n+1 ,有n^(n+1)>(n+1)^n,即 3^4>4^3,4^5>5^4,5^6>6^5,6^7>7^6,…… 【2】不用导数,思路就很复杂, n=1,2,同上验证。
n≥3时, (n+1)^n=n^n+[C(n,1)]n^(n-1)+[C(n,2)]n^(n-2)+[C(n,3)]n^(n-3)+……+[C(n,n-2)]n^2+[C(n,n-1)]n+1, 当 k=2,3,4,……,n-1 时, C(n,n-k)<n^(n-k) → [C(n,n-k)]n^k<n^n, [C(n,n-1)]n+1=n^2+1<n^n, 这样就有 (n+1)^n<n^n+n^n+n^n+……+n^n(共n项) =n*n^n=n^(n+1) 。
解: 构造函数y=(lnx)/x 则求导得y'=[(lnx)-1]/x^2 lnx-1>0,即x>e时,y为增函数; lnx-1n,故: (1)e[ln(n)]/n --->n*ln(n+1)>(n+1)*ln(n) --->(n+1)^n>n^(n+1) (2)0
答:楼上的思路是对的,但是数学上是不可以这样做的。等学到高三的时候,会学完全归纳法。用这个方法就行。 当n=1时…… 当n=2时…… 当n=3时……(同上) 假设n...详情>>
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