数学数列
错位相减法一般什么时候用呢?
求通项、求和时都用。 等比数列求和公式就是用错位相减法得到的。 已知数列{an}是首项为a,且公比为q不等于1的等比数列,Sn是其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列。 (1)证明:12S1,S6,S12-S6成等比数列; (2)求和:Tn=a1+2a4+3a7+。
。。+na(3n-2) na(3n-2)括号内为下标 (1)应为证明:12S3,S6,S12-S6成等比数列 证明: ∵a1,2a7,3a4成等差数列。 a7=a1×q^6 a4=a1×q^3 ∴ 4a7=a1+3a4 4a1×q^6=a1+a1×q^3 令q^3=x 4x^-3x-1=0 x1=q^3=1 ∵q≠1 ∴舍去 x2=q^3=-1/4 S6=a1×(1-q^6)/(1-q) S3=a1×(1-q^3)/(1-q) S12=a1×(1-q^12)/(1-q) S12-S6=a1×q^6×(1-q^6)/(1-q) 12S3×(S12-S6) =(a1)^12×(1-q^6)×(1-q^3)×q^6/(1-q)^ =[(a1)^×(1-q^6))×(1-q^3)/(1-q)^]×q^6×12 =[(a1)^×(1-q^6)×(1-q^3)/(1-q)^]×(3/4) (S6)^=(a1)^×(1-q^6)^)×(1-q^3)/(1-q)^ =[(a1)^×(1-q^6))×(1-q^3)/(1-q)^]×(1+q^3) =[(a1)^×(1-q^6))×(1-q^3)/(1-q)^]×(3/4) ∴(S6)^=12S3×(S12-S6) 12S3,S6,S12-S6成等比数列 (2) Tn=a1+2a4+3a7+。
。。+na(3n-2) =a1+2a1q^3+3a1q^6+4a1q^9+。。。。。。na1q^(3n-3) 令q^3=k Tn=a1+2a1k+3a1k^2+4a1k^3+。。。。。。na1k^(n-1) k×Tn=a1k+2a1k^2+3a1k^3+4a1k^4+。
。。。。。na1k^(n) Tn-kTn=a1[1+k+k^+k^3+k^4+。。。+k^n) Tn=a×(1-k^n)/(1-k)^ 其中k=q^3=-1/4 。
答:这是很典型的利用错位相减法解数列的题目 一般来说,只要数列中带有1/2或1/3等项的话,通常都要采用错位相减法详情>>
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