兄弟题
1、如果以弦的两个端点为切点的两切线所截线段的中点在弦上，那么该中点和圆心的连线必然垂直于该线段。 2、一直线和一弦相交，其交点和圆心的连线与直线如果垂直，那么该交点必然是直线被以弦的两个端点为切点的两切线所截部分的中点。
这两道“兄弟”题确实有趣 1、如果以弦的两个端点为切点的两切线所截线段的中点在弦上，那么该中点和圆心的连线必然垂直于该线段。 2、一直线和一弦相交，其交点与圆心的连线如果和直线垂直，那么该交点必然是直线被以弦的两个端点为切点的两切线所截部分的中点。
当我们在一张题单上看见这两道题的时候一定会这样认为：这两道题一个把原因当结果，一个把结果当原因，在解了此题后彼题也就解了，解了彼题后此题也就解了，两道题只有一道题的作业量，好容易哟！其实不然，当做下来才晓得不是那么一回事。 1题 已知：AB是⊙O的弦，m、n分别是⊙O的切线，切点分别是A、B。
CD是两切线所截线段，与AB相交于E，且CE=DE。 求证：OE⊥DC。 证明：连接OA、OB，OC、OD。 （分析：要证明OE⊥DC,能得OC＝OD便行，如此则须证明△OBD和△OAC全等。但按现有条件，要达此目的是非常困难的，甚至是不可能的。
必须要赶快另辟蹊径。） 延长EB至F，使EF＝EA，很容易证得△EFD≌△EAC。则得∠1＝∠2。 又∵∠2＝∠3(同弦的弦切角相等)，∠3＝∠4,(对顶角相等) 得∠1＝∠4，∴DF＝DB，得DB＝AC。这样，△OBD≌△OAC。(边角边) 得OD＝OC，∴OE⊥CD。
（等腰三角形底边上的中线垂直底边。）（证毕） 下面我们来做第2题，是把1题的已知和求证反了过来，是不是因做了1题这2题就容易了些呢？ 2题 已知：弦AB和直线L相交于E，两切线m、n分别和⊙O切于A、B。直线L被两切线分别截于C、D，且OE⊥CD。
求证：ED＝EC。 证明：（虽然此题同样必须证出OD＝OC,但因为没了E为CD中点的条件，老路子很难走下去，甚至是不可能走得下去。只有紧紧抓住“垂直”条件才是道理。） 连接OA、OB，OC、OD。可见共有三处垂直关系。 ∵OE⊥CD，（已知）OA⊥CA。
(过切点的半径和切线垂直。) ∴C、A、O、E四点共圆。（四边形对角和等于180°则四顶点共圆。） 那么∠1＝∠2,(同弧上的圆周角相等) 又因∠3＝∠2，∴∠3＝∠1， 在两直角三角形OED和OBD中，OD是共用斜边，故O、E、B、D四点共圆。
由此得∠3＝∠4，(同弧上的圆周角相等) ∴∠4＝∠1。故△ODC是等腰三角形。 即得ED＝EC,(等腰三角形底边上的高平分底边。) 故E为线段CD的中点。 （证毕） 。
1、如果以弦的两个端点为切点的两切线所截线段的中点在弦上，那么该中点和圆心的连线必然垂直于该线段。 设BC是圆O的弦，AB,AC是圆O切线，F在AB上，E在AC的延长线上，EF与BC交于D,且DE=DF。求证:OD⊥EF。 证明 设DE与圆O交于P,DF与圆O交于Q。
过F作FG//AE，交BC于G。因为AB=AC,所以BF=GF。 易证ΔFGD≌ΔECG,故FG=CE。 由切线定理得:CE^2=EQ*EP; BF^2=FQ*FP EQ*EP=FP*FQ (EP+PQ)*EP=(FQ+PQ)*FQ EP^2-FQ^2=PQ*(FQ-EP) (EP-FQ)*(EP+FQ-PQ)=0 那么EP=FQ [EP+FQ-PQ≠0] 所以由DE=DF得:D是PQ的中点。
因此OD⊥EF。 2、一直线和一弦相交，其交点和圆心的连线与直线如果垂直，那么该交点必然是直线被以弦的两个端点为切点的两切线所截部分的中点。 设BC是圆O的弦，AB,AC是圆O切线，F在AB上，E在AC的延长线上，EF与BC交于D,EF与圆O交P和Q，且OD⊥EF。
求证:DE=DF。 证明 连OB,OC,OD,OE,OF。 易证 O,E,C,D四点共圆，O,B,F,D四点共圆。 所以∠OCD=∠OED，∠OBD=∠OFD。 又∠OCB=∠OBC，故∠OED=∠OFD。 因此三角形EOF是等腰三角形，即OE=OF。
而OD⊥EF,所以OD也是EF的中线。 从而得:DE=DF。证毕。 第一题的简证 设EF与圆O交于G，H，过E作EK//AB， ∵DE=DF，∴△EK≌△DFB， ∴∠K=∠DBF=∠BCA=∠ECK， ∴FB=EK=EC， 又EC^2=EG*EH，FB^2=FH*FG， ∴FH*FG=EG*EH， ∴FH（FH+HG）=EG（EG*GH）, ∴EG^2+EG*GH=FH^2+FH*GH, ∴EG=FH, ∴DG=DH,∴OD⊥EF。
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打图不方便 此题两切线和弦组成等腰三角形.是下列题的拓展 在等腰三角形底边上 ,任意取一点为圆心,适当半径作圆,交一腰和另一腰延长线,则底到各自腰的交点长相等 这样lz的题就不难解决
答：如果以弦的两个端点为切点的两切线所截线段的中点在弦上，那么该中点和圆心的连线必然垂直于该线段。 上述问题可改述为: 设BC是圆O的弦，AB,AC是圆O切线，F在...详情>>
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