微积分的问题
设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=0，当x在(0,1)上时，f(x)不等于0.求证：对一切自然数n，在（0，1）内必存在一点a，使得nf'(a)/f(a)=f'(1-a)/f(1-a)
证明：令g(x)=f(x)^n*f(1-x)，n为任意自然数
由于f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导
所以g(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导
又f(0)=0,所以g(0)=0,g(1)=0,即g(0)=g(1),满足罗尔定理，
因此在（0，1）内必存在一点a，使得g'(a)=0,即：
g'(a)=nf(a)^(n-1)*f'(a)*f(1-a)-f(a)^n*f'(1-a)=0……（1）
又当x在(0,1)上时，f(x)不等于0，化简式（1）即得到结论：
nf'(a)/f(a)=f'(1-a)/f(1-a)
答：因为f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0,f(1)=1，对任正数a、b，有 a/(a+b)∈(0,1)，由介值定理，存在c∈(0,1)，使f(c)=a/(...详情>>
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