数学问题:圆锥的母线长为2,底面半径为√3
1,圆锥的母线长为2,底面半径为√3,则过圆锥顶点的截面面积的最大值是______2________ 2,圆锥的底面半径为r,高是h,一个平行于底面的截面把圆锥分成体积相等的两部分,这个截面与底面间距离是____________, 这个截面圆的半径是_____________ 最好解析一下
1.设截面顶角为x,轴截面顶角为α, ∵ sin(α/2)=√3/2, ∴ α=120°而0°
1、过圆锥顶点的最大的截面是垂直于底面的等腰三角形。 该三角形底边长2√3,腰长即母线长2。 根据勾股定理可得 三角形的高的平方=2^2 - (√3)^2 三角形的高 = 1 三角形面积 = 2√3 * 1 /2 = √3 过圆锥顶点的截面面积的最大值是√3 。
2、一个平行于底面的截面把圆锥分成体积相等的两部分,上半部份是一个小圆锥。 设小圆锥的半径为r1,高为h1,满足r1 /r = h1 /h。
令r1 /r = h1 /h = k 所以r1 = kr,h1 = kh 小圆锥的体积 = π(r1)^2 *h1 /3 = k^3 *πr^2 *h /3 大圆锥的体积 = π(r)^2 *h /3 又 k^3 *πr^2 *h /3 = (π(r)^2 *h /3)/2 k^3 = 1/2 k = (1/2)立方根 r1 = r *(1/2)立方根 h1 = h *(1/2)立方根 所以 这个截面与底面间距离是h - h *(1/2)立方根, 这个截面圆的半径是r *(1/2)立方根。
1. 最大截面面积的时候是截面经过底圆中心 于是高等于√( 2^ - (√3)^) = 1 面积等于0.5*2* √3*1=√3 2. 设圆锥总体积为V 分割后为上部为v1 =0.5V 因为上部与原来的圆锥形状相似 则三维体积之比等于二维高度之比的三次方 三维体积之比等于二维直径之比的三次方 即V/V1 =(h/h1)^3 h/h1 = (V/V1)^(1/3) = 2^(1/3) 所以h1 = h /( 2^(1/3)) = h* 0.5^(1/3) x = h-h1 = h ( 1 - 0.5^(1/3) ) 半径之比也是一样r/r1 = 2^(1/3) r1 = r /( 2^(1/3))
问:一个圆柱和一个圆锥的体积相等,圆柱底面半径是圆锥的5倍,圆柱的高是圆锥的( ).
答:圆锥底面半径是R.圆柱底面半径是5R.圆柱的高是H,圆锥的高是h. ∏(5R)^2H=∏R^2h/3 H:h=1:75详情>>
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