函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
  
    经典定义：
　　在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。
 
    现代定义 ：
　　一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。
  记作：x→y=f(x),x∈A。集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D。若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
    用映射的定义：
　　一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。
   
　　向量函数:自变量是向量的函数 叫向量函数 f（a1。a2，a3。。。。。。an）=y。
    计算机定义：
　　函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。
   　　类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。 
　　大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。 
　　与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x)（f由用户自己定义）。
  
    映射的概念：
    设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B。　 
　　其中，b称为元素a在映射f下的象，记作：y=f(a); a称为b关于映射f的原象。
  集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。 
　　映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。 
　　在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。
   
　　如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合（不限于数），我们可以得到映射的概念：映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。 。